สรุปเรื่อง ลําดับ เลขคณิต คือ อะไร พร้อมโจทย์น่าสนใจ เตรียมเข้ามหาวิทยาลัยและสอบที่โรงเรียน

ลำดับ เลขคณิต เป็นส่วนหนึ่งของบทลำดับและอนุกรม ซึ่งเป็นลำดับเลขคณิตนั้นเป็นเนื้อหาที่ประยุกต์ใช้กับอีกหลายบทมากในเลขม.ปลาย ถ้าน้อง ๆ ไม่อยากพลาดและต้องเสียเวลาทำความเข้าใจใหม่ในบทอื่น ๆ อีก พี่ ๆ ATHOME ขอแนะนำให้น้อง ๆ หมั่นทบทวนบทเรียนและฝึกทำโจทย์บ่อย ๆ เพื่อให้เกิดความแม่นยำขึ้น น้องคนไหนอยากเริ่มเรียนรู้เรื่องนี้ด้วยตัวเอง พี่ ๆ ก็เตรียมสาระดี ๆ มาให้ถึงหน้าจอแล้ว ดังต่อไปนี้เลยค่ะ

ลําดับ เลขคณิต คือ

ลำดับ เลขคณิต (Arithmetic Sequence) คือ ลำดับของตัวเลขที่ผลต่างซึ่งได้จากพจน์สองพจน์ที่อยู่ติดกัน มีค่าคงตัวเป็นค่าเดียวกัน โดยเราเรียกค่าคงตัวนั้นว่า ผลต่างร่วม (Common Difference) เขียนแทนด้วย d

ลําดับเลขคณิต สูตรที่ใช้บ่อย

พจน์ทั่วไป   a_n   =  a₁ + (n-1)d

โดยที่            a_n  = พจน์ลำดับที่ n

a₁  = พจน์ลำดับที่ 1

n   = จำนวนพจน์ในลำดับนั้นทั้งหมด

d    = ผลต่างร่วม

ลําดับเลขคณิต สูตรลัด ใช้แก้โจทย์ได้เร็วขึ้น

• ลำดับเลขคณิต : ขวา-ซ้าย คงที่
• พจน์ทั่วไป คือ a₁ + (n-1)d
•  a_m    =  a_n + (m-n)d

เทคนิคการทำโจทย์ เมื่อโจทย์ให้ผลบวกของลำดับเลขคณิตโดย

• จำนวนพจน์เป็นเลขคี่

a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅

a₁  = x – 2d

a₂  =   x – d

a₃  =  x

a₄   =  x + d

a₅   =  X + 2d

• จำนวนพจน์เป็นเลขคู่

a₁ + a₂ + a₃ + a₄

a₁  = x – 3d

a₂  =   x – d

a₃  =  x+d

a₄   =  x + 3d

ความหมายของลำดับ ต่างกับอนุกรมอย่างไร

ความแตกต่างของลำดับกับอนุกรมนั้น คือ ลำดับหมายถึงตัวเลขที่เรียงกัน อาจห่างกันเป็น ลำดับเลขคณิต ซึ่งมีผลต่างห่างคงที่ หรือ ลำดับเรขาคณิตที่มีอัตราส่วนห่างกันคงที่ แต่อนุกรมนั้นหมายถึงผลรวมของแต่ละพจน์ในลำดับนั้น ๆ 

ลําดับ เลขคณิต ตัวอย่างแบบฝึกหัดพร้อมเฉลย

1. ถ้าลำดับเลขคณิตมีพจน์ที่ 1 เป็น 6 และผลต่างร่วมเป็น 4 จงหาพจน์ที่ 15

วิธีทำ  จากโจทย์ จะได้ a₁  =  6, d = 4

ต้องการหา a₁₅

จากสูตรพจน์ทั่วไป     a_n   =  a₁ + (n-1)d

แทนค่า   a₁  =  6, d = 4, n = 15

ดังนั้น     a₁₅  = 6 + (15-1)(4)  = 62

ตอบ พจน์ที่ 15 คือ 62

---

2. ลำดับเลขคณิต 16, 3, -10, …., -244 จะมีจำนวนพจน์เท่ากับกี่พจน์

วิธีทำ  จากโจทย์ จะได้   a₁ = 16 , d = -13 ,  a_n = -244 ต้องการหา n

จากสูตรพจน์ทั่วไป      a_n   =  a₁ + (n-1)d

แทนค่า  a₁ = 16 , d = -13 ,  a_n = -244 

จะได้                 -244 = 16 + (n-1)(-13)

      -244 = 16 – 13n + 13

n   =   21

ดังนั้นลำดับเลขคณิต  16, 3, -10, …., -244 จะมีจำนวนพจน์เท่ากับ 21 พจน์

ตอบ  21 พจน์

---

3. จงหาจำนวนพจน์ทั้งหมดของลำดับเลขคณิตที่มีเงื่อนไขต่อไปนี้

1. จำนวนนับที่มีค่าระหว่าง 100 กับ 500
2. จำนวนนับที่มีค่าตั้งแต่ 100 ถึง 500
3. จำนวนนับที่มีค่าตั้งแต่ 100 ถึง 500 ที่หารด้วย 7 และ 8 ลงตัว
4. จำนวนนับที่มีค่าตั้งแต่ 100 ถึง 500 ที่หารด้วย 7 หรือ 8 ลงตัว

วิธีทำ (1) จำนวนนับที่มีค่าระหว่าง 100 กับ 500 มีจำนวนพจน์ = 500-100-1 = 399 จำนวน

ตอบ 399 จำนวน

(2) จำนวนนับที่มีค่าตั้งแต่ 100 ถึง 500 มีจำนวนพจน์ = 500-100+1 = 401 จำนวน

ตอบ  401 จำนวน

(3) จำนวนนับที่มีค่าตั้งแต่ 100 ถึง 500 ที่หารด้วย 7 และ 8 ลงตัว 

ประโยคที่ว่า “หารด้วย 7 และ 8 ลงตัว” มีความหมายเช่นเดียวกับ “หารด้วย ค.ร.น.​ของ 7 และ 8 ลงตัว” ซึ่ง ค.ร.น. ของ 7 และ 8 คือ 56

สรุปว่า โจทย์ต้องการหาจำนวนที่พจน์หารด้วย 56 ลงตัว

ดังนั้น a₁  = 112 / d = 56 /  a_n = 448

จากสูตรพจน์ทั่วไป   a_n   =  a₁ + (n-1)d

แทนค่า                 a₁  = 112 / d = 56 /  a_n = 448

จะได้ 448 = 112 + (n-1)(56)

448 = 112 + 56n – 56

n  =  7

ดังนั้นจำนวนนับที่มีค่าตั้งแต่ 100 ถึง 500 ที่หารด้วย 7 และ 8 ลงตัว มี 7 จำนวน

ตอบ   7 จำนวน

(4) จำนวนนับที่มีค่าตั้งแต่ 100 ถึง 500 ที่หารด้วย 7 หรือ 8 ลงตัว เท่ากับ จำนวนนับที่มีค่าตั้งแต่ 100 ถึง 500 ที่หารด้วย 7 ลงตัว บวกกับ จำนวนนับที่มีค่าตั้งแต่ 100 ถึง 500 ที่หารด้วย 8 ลงตัว แล้วลบด้วย จำนวนนับที่มีค่าตั้งแต่ 100 ถึง 500 ที่หารด้วย 7 และ 8 ลงตัว

ขั้นตอนที่ 3 หาจำนวนนับที่มีค่าตั้งแต่ 100 ถึง 500 ที่หารด้วย 7 และ 8 ลงตัว

มี 7 จำนวน ดังนั้นจำนวนนับที่มีค่าตั้งแต่ 100 ถึง 500 ที่หารด้วย 7 หรือ 8 ลงตัว เท่ากับ 57 + 50 – 7 = 100 จำนวน

ตอบ    จำนวนนับที่มีค่าตั้งแต่ 100 ถึง 500 ที่หารด้วย 7 หรือ 8 ลงตัว มี  100 จำนวน

---

โจทย์พร้อมเฉลย เรื่อง ลำดับเลขคณิต สนามสอบเข้ามหาวิทยาลัย

1. ถ้า 𝑎1,𝑎2,𝑎3,…𝑎100 เป็นลำดับเลขคณิตซึ่ง มี 𝑎1 −𝑎2 +𝑎3 −𝑎4 +…+𝑎99 −𝑎100 = 40

แล้วผลต่างร่วมของลำดับเลขคณิตนี้เท่ากับข้อใดเท่าใด [กสพทคณิต2(มี.ค.2561/7)

วิธีทำ

𝑎1 −𝑎2 +𝑎3 −𝑎4 +…+𝑎99 −𝑎100 = 40  (คูณด้วย -1 ทั้งสมการ)

−𝑎1 +𝑎2 −𝑎3 +𝑎4 −…−𝑎99 +𝑎100 = -40

(𝑎2 − 𝑎1) + (𝑎4 − 𝑎3) + … + (𝑎100 − 𝑎99) = -40

𝑑 + 𝑑 +…+ 𝑑  = -40 

                                                    50𝑑  = -40  (100พจน์เท่ากับ 50คู่)

                                                         d = -45

ตอบ   d = -45

---

2. จัสตินจัดการแสดงดนตรีแจกเสื้อให้ผู้เข้าร่วมงาน คนที่ 99, 144, 189, 234, 279, … ถ้ามีผู้เข้าร่วมงานทั้งหมด 1500 คน แล้วมีผู้เข้าร่วมรับเสื้อทั้งหมดกี่คน [O-NET(มี.ค.2562/38)]

วิธีทำ  จะเห็นว่าหมายเลขของคนที่ได้เสื้อ เป็นลำดับเลขคณิต ที่มี a1 = 99 d = 45

ดังนั้น หมายเลขของคนที่ได้เสื้อต้องสอดคล้องกับสูตรพจน์ทั่วไป

มีผู้เข้าร่วมงาน 1500 คน แสดงว่าจำนวนคนรับเสื้อต้องไม่เกิน 1500 คน

จะได้  45n + 54 1500

n   32 กว่า ๆ

แต่ n ต้องเป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น n = 32

ตอบ คนที่ได้เสื้อมีจำนวน 32 คน

---

3. ตามสถิติการเกิดโรคระบาดครั้งหนึ่ง เมือง ก มีจำนวนผู้ป่วยลดลงวันละ 22 คน ในขณะที่เมือง ข มีผู้ป่วยเพิ่มขึ้น วันละ 15 คน ถ้าในเมือง ก และในเมือง ข มีผู้ป่วยจำนวน 745 คน และ 42 คนตามลำดับ แล้วเมื่อทั้งสองเมือง มีผู้ป่วยจำนวนเท่ากันนั้น แต่ละเมืองมีผู้ป่วยจำนวนเท่าใด

วิธีทำ  จำนวนผู้ป่วยที่เพิ่ม/ลดของแต่ละเมือง จัดเป็นลำดับเลขคณิต

สามารถใช้สูตรพจน์ทั่วไปในการหา n ได้

จากสูตร      a_n   =  a₁ + (n-1)d

เมือง ก มีผู้ป่วยเริ่มต้น 745 คน และลดลงวันละ 22 คน → จะได้จำนวนผู้ป่วย = 745 + (n-1)(-22)

เมือง ข มีผู้ป่วยเริ่มต้น 42 คน และเพิ่มขึ้นวันละ 15 คน → จะได้จำนวนผู้ป่วย = 42 + (n-1)(15)

ดังนั้นจำนวนผู้ป่วยจะเท่ากันเมื่อ 745 + (n-1)(-22) = 42 + (n-1)(15)

745 – 22n + 22 = 42 + 15n – 15

767-22n = 27 + 15n

-37n = -740

แก้สมการ n = 20

เมื่อนำ n = 20 ไปแทนหาจำนวนผู้ป่วยในเมือง ข จะได้ผู้ป่วย = 42 + (20-1)(15)

= 42 + 300 – 15  = 327

ความจริงแล้วนำไปแทนในเมืองไหนก็ได้เช่นกัน เพราะแต่ละเมืองมีจำนวนผู้ป่วยเท่ากัน

ตอบ   จำนวนผู้ป่วย คือ 20 คน

---

คำถามที่พบบ่อย (FAQ)

สูตรที่ใช้ในแบบฝึกหัด การหาพจน์ทั่วไปของลําดับ

ตอบ      a_n   =  a₁ + (n-1)d

ลำดับเลขคณิต กับ ลำดับเรขาคณิต ต่างกันยังไง

ตอบ    ลำดับเลขคณิต จะมีผลต่างร่วม ลำดับเรขาคณิตจะมีอัตราส่วนร่วม

ลำดับเลขคณิต โจทย์ประยุกต์กับบทไหนได้บ้าง

ตอบ  เมทริกซ์ แคลคูลัส ดอกเบี้ยทบต้น

ลำดับเลขคณิต ตัวอย่าง

ตอบ 200, 205, 210, …, 300 ซึ่งมี d = 5

สรุปสูตรลำดับเลขคณิต

ตอบ  a_n   =  a₁ + (n-1)d  และ a_m    =  a_n + (m-n)d

เป็นอย่างไรกันบ้างคะน้อง ๆ เนื้อหาเรื่องลำดับเลขคณิตนั้นไม่ได้ยากเหมือนที่คิดเอาไว้ใช่ไหมล่ะคะ ใครที่อยากเพิ่มพูนความชำนาญด้านคณิตศาสตร์ ทั้งของม.ต้น และม.ปลาย ก็อย่าลืมคอยติดตามคอนเทนต์ ที่รวบรวมสรุปแบบเข้าใจง่าย และโจทย์เก็งและโจทย์จริงของสนามสอบสำคัญต่าง ๆ แบบนี้อีกต่อ ๆ ไปน้า ถ้าน้อง ๆ ทำอย่างต่อเนื่องแม้ว่าจะไม่ได้ถนัดวิชาคณิตศาสตร์ตั้งแต่แรกก็จะได้ความคล่องมือมากขึ้นแน่นอนเลย