กราฟ เป็นการแสดงผลของเซตของจุดที่แสดงผลอย่างเป็นระเบียบ จัดเป็นแผนภูมิประเภทหนึ่งที่ทำให้เราสามารถวิเคราะห์ข้อมูลต่าง ๆ ได้อย่างเห็นภาพที่ชัดเจน และสะดวกรวดเร็วมากขึ้น ยิ่งไปกว่านั้นคือกราฟยังช่วยให้เราสามารถแก้ระบบสมการที่สลับซับซ้อนได้อีกด้วย
กราฟเส้นตรง คืออะไร
กราฟเส้นตรง คือ กราฟที่เขียนในรูปของ Ax + By + C = 0
เมื่อ A B C เป็นค่าคงตัว และ A กับ B ไม่เท่ากับ พร้อมกัน อาจเรียกสมการเส้นตรงนี้ว่าสมการเชิงเส้นสองตัวแปรก็ได้เช่นกัน
สมการเส้นตรงในรูป Ax + By + C = 0
สมการนี้สามารถเขียนในอีกรูปคือ y = mx + c
ซึ่ง m = ความชัน
c = ระยะตัดแกน y (Y – Intercept)
สมการเส้นตรง
รูปแบบของสมการเส้นตรงนั้นสามารถเขียนได้หลายรูปแบบ ดังนี้
Ax + By + C = 0
y = mx + c หรือ y = mx + b หรือ y = ax + b
( รูป 1 )
คำที่ควรรู้
จุด (p, q) ผ่านเส้นตรง Ax + By + C = 0 หมายถึงว่าถ้านำ p ไปแทนใน x และนำ q ไปแทนใน y
จะทำให้สมการทั้งสองข้างเป็นจริง นั่นเอง
วิธีการเขียนกราฟเส้นตรง
การเขียนกราฟเส้นตรง มี 2 วิธี
วิธีที่ 1 ทำตาราง
| x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
| y |
วิธีที่ 2 หาจุดตัด
-หาจุดตัดแกน x (สมมติให้ y = 0)
-หาจุดตัดแกน y (สมมติให้ x = 0)
รู้จัก “จุดตัดแกน x” และ “จุดตัดแกนy y”
จุดตัดแทน x ให้ y = 0 และจุดตัดแกน y ให้ x = 0
ความชันกราฟ
ความชัน = 0 → เส้นตรงทำมุมกับแกน x = 0 องศา
ความชัน > 0 → เส้นตรงทำมุมกับแกน x เป็นมุมแหลม
ความชัน < 0 → เส้นตรงทำมุมกับแกน x เป็นมุมป้าน
ความชันของเส้นตรง 2 เส้น
ถ้า m1 x m2 = -1 → หมายถึงเส้นตรงทั้งสองตั้งฉากกัน
ถ้า m1 = m2 → หมายถึงเส้นตรงทั้งสองขนานกัน
ลักษณะของกราฟ
กราฟของคู่อันดับ
( รูป 2 )
โจทย์ กราฟ ม.1เรื่องกราฟของความสัมพันธ์เชิงเส้น
- จงหาเส้นตรง A B ควรเป็นเส้นตรง y = 5x หรือ y = 2x
( รูป 3 )
วิธีทำ ให้สังเกตค่าสัมประสิทธิ์ ของ x
y = 5x มี → สัมประสิทธิ์ คือ 5 (เส้นตรง B)
y = 3x มี → สัมประสิทธิ์ คือ 3
y = 2x มี → สัมประสิทธิ์ คือ 2 (เส้นตรง A)
ตอบ A คือ สมการ y = 2x และ B คือ สมการ y = 5x
- กราฟที่อยู่ในรูป xa + yb = 1
จงเขียนกราฟ x3 + y5 = 1
วิธีทำ สมการนี้มี a = 3 b = 5
( รูป 4 )
- จงหาสมการเส้นตรงที่ผ่านจุด (3,2) และ (-5,6)
วิธีทำ m = y2-y1 / x2-x1 = 6-2/ -5 -3
= 4/-8 = -1/2
y – y1 = m (x – x1)
y – 2 = -1/2 (x – 3)
y = -1/2x + 7/2
ตอบ y = -1/2 x + 7/2
กราฟ ม.1 แบบฝึกหัด เรื่องกราฟของคู่อันดับบนระบบพิกัดฉาก สองตัวแปร
- จงยกตัวอย่างการสร้างสมการในรูปแบบต่าง ๆ
วิธีทำ 1. จงหาสมการเส้นตรงที่ผ่านจุด (0,3) และมีความชัน 9/2 (กรณีมี 0)
จาก y = mx + b
y = 9/2x + 3
2.จงหาสมการเส้นตรงที่ผ่านจุด (2,-3) และมีความชัน -1/7 (กรณีไม่มี 0)
จาก y – y1 = m (x-x1)
จะได้ y – (-3) = -1/7 (x-2)
y + 3 = -1/7 (x-2)
- กำหนดกราฟของสมการเชิงเส้น 3x – 2y -12 = 0
จงหา 1. จุดตัดแกน x 2. จุดตัดแกน y 3. ความชัน
วิธีทำ 1. จุดตัดแกน x (ให้ y = 0)
3x = 2(0) -12 = 0
3x = 12
x = 4
ดังนั้น จุดตัดแกน x คือ (4, 0)
2. จุดตัดแกน y (ให้ x = 0)
3(0) – 2y – 12 = 0
-2y = 12
y = -6
ดังนั้น จุดตัดแกน y คือ (0, -6)
3.หาความชัน
3x- 2y -12 = 0
3x – 12 = 2y
y = 3/2 x – 6
เทียบกับสมการ y = mx + b
m = 3/2
ตอบ 1. (4, 0) 2. (0, -6) 3. 3/2
2. จงหาสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด () และ ()
วิธีทำ จากสมการ y = mx + b
เนื่องจากเส้นตรงผ่านจุด (3,4)
4 = m(3) + b ……….(1)
เพราะเส้นตรงผ่านจุด (-5,-2)
2 = m(-5) + b ………..(2)
แก้สมการ (1) (2) จะได้เป็น m = ¼
b = 13/4
สมการที่ต้องการคือ y = ¼ x + 13/4
หรือ x – 4y + 13 = 0
- จงหาสมการเส้นตรงที่มีความชัน 3 และจุดตัดแกน y คือ -4
วิธีทำ จากสมการเส้นตรง y = mx + b
m = 3
b = -4
จะได้ y = 3x + (-4)
y = 3x – 4
กราฟและความสัมพันธ์เชิงเส้น ม.1 เฉลย เรื่องกราฟกับการนำไปใช้
- เซียวจ้านซื้อคอมพิวเตอร์ราคา 10000 บาท โดยกราฟต่อไปนี้แสดงค่าหลังการใช้คอมพิวเตอร์นี้ ภายในระยะเวลา 5 ปี
<รูปกราฟ> ( รูป 5 )
จงตอบคำถาม
- อธิบายภาพรวมของราคากับเวลา
- เมื่อปีที่ 2 ราคาของคอมพิวเตอร์เป็นเท่าใด
- ราคาของคอมพิวเตอร์เท่ากับ 8000 บาท เมื่อเวลาผ่านไปกี่ปี
- คอมพิวเตอร์ไม่มีราคาเมื่อถึงปีที่เท่าใด
- จงสร้างสมการของราคาของคอมพิวเตอร์นี้
วิธีทำ
1. เมื่อซื้อครั้งแรก ราคาของคอมพิวเตอร์จะแพง แค่หลังจากการใช้ไปแต่ละปี ราคาก็จะลดลง โดยเวลา 5 ปี คอมพิวเตอร์นี้จะไม่มีราคาเลย
2. ใช้ x = 2 ลากแนวดิ่งไปชนรูปกราฟเส้นตรงได้ y = 6000 บาท
3. y = 8000 บาท ได้ x = 1 ปี
4. ไม่มีราคา คือ y =0 ได้ x = 5 ปี
5. จะสร้างสมการ
(x1 , y1) = (0 , 10000), (x2 , y2) = (5, 0)
m = y2 – y1x2 – x1
= 0-100005-0 = -100005 = -2000
จุดตัดแกน y = (0, 10000)
y = mx + b
y = -2000 + 10000
นั่นคือ สมการเส้นตรง คือ y = -2000 + 10000
2.กราฟแสดงความสัมพันธ์ระหว่างเวลาในการวิ่งของนารูโตะกับอัตราเร็วเป็นดังรูปข้างล่าง
<รูปกราฟ> ( รูป 6 )
จงหา
1. ระยะทางทั้งหมดที่นารูโตะวิ่งในเสลา 60 วินาที
2. อัตราเฉลี่ยการวิ่ง
วิธีทำ (1) พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู ABCD = ½ x (AD + BC) x 70
= ½ x (60+20) x 70 = 2800
ดังนั้น ระยะทางทั้งหมด = 2800 เมตร
(2) อัตราเร็วเฉลี่ย = st
= 280060 = 46.67 เมตร/วินาที
ตอบ 1. 2800 เมตร 2. 46.67 เมตร/วินาที
คำถามที่พบบ่อย (FAQ)
สมการเส้นตรงของกราฟ คือ
สมการรูปแบบมาตรฐานของเส้นตรง
จุดตัดแกน x คืออะไร
จุดที่กราฟตัดกับแกน x หาได้ด้วยการกำหนดให้ y = 0
จุดตัดแกน y คืออะไร
จุดที่กราฟตัดกับแกน y หาได้ด้วยการกำหนดให้ x = 0
เส้นตรงตั้งฉากกัน หมายถึง
หมายถึงความชันของเส้นตรงที่ 1 และเส้นตรงที่ 2 คูณกันได้ -1
เส้นตรงขนานกัน หมายถึง
หมายถึงเส้นตรงที่ห่างเป็นระยะเท่ากัน ความชันเท่ากัน แต่ไม่ใช่เส้นตรงเดียวกัน
บทเรียนเรื่องกราฟ นั้นถือเป็นบทเรียนเกี่ยวกับการแก้สมการเส้นตรงที่สำคัญมาก ๆ เลยน้า ในระดับม.ต้น จะเรียนเกี่ยวกับสมการเส้นตรงเป็นหลัก แต่ความจริงแล้วกราฟนั้นยังมีมากมายกว่านั้นมาก ทั้งกราฟพาราโบลา กราฟไฮเปอร์โบลา กราฟค่าสัมบูรณ์ กราฟลอกาลิทึม และอื่น ๆ ซึ่งน้อง ๆ จะได้เรียนในระดับที่สูงขึ้นไป
