หลังจากการเรียนรู้เกี่ยวกับพหุนามไปแล้วนั้น เราจะเริ่มมาเรียนรู้ให้ลึกกว่าเดิม ด้วยการรู้จักกับการแยกตัวประกอบนั้น ๆ ซึ่งจะต่อยอดไปถึงการแก้สมการพหุนามต่อไป
การแยกตัวประกอบ คือ
การแยกตัวประกอบ คือ การเขียนพหุนามในรูปการคูณของพหุนาม ซึ่งตัวประกอบแต่ละวงเล็บต้องมีดีกรีน้อยกว่าพหุนามเดิม โดยที่แต่ละวงเล็บที่ได้ไม่สามารถเขียนได้ไม่สามารถเขียนเป็นรูปการคูณต่อไปได้อีกมีวิธีการแยกตัวประกอบ 8 วิธีคือ
- ดึงตัวร่วมโดยใช้สมบัติการแจกแจง
จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้
- 7x + 14x2 2. 7x2y3 + 14x4 y2 3. 7(x+y)2 + 14(x+y)5
วิธีที่ 1 7x + 14x2 = 7x(1+2x)
วิธีที่ 2 7x + 14x2 = (7x)(1) + (7x)(2x)
= 7x(1+2x)
(2) 7x2y3 + 14x4 y2 = 7x2 y2 (y+2x)2
(3) 7(x+y)2 + 14(x+y)5 = 7(x+y)2 (1+2(x+y)3)
- สามพจน์แยกเป็น 2 วงเล็บ
จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้
- x2 + 8x + 15 2. x2 -8x +15
3. x2 + 2x – 15 4. x2 – 2x – 15
วิธีทำ
(1) x2 + 8x + 15 = (x+3)(x+5)
(2) x2 -8x +15 = (x-3)(x-5)
(3) x2 + 2x – 15 = (x-3)(x+5)
(4) x2 – 2x – 15 = (x – 5)(x+3)
ข้อสังเกต
จากข้อ 1
x2 + 8x + 15 = (x+ ) (x+ ) ( ดูจาก 15 และ 8 x)
คิดต่อไปว่าจำนวนนับอะไรคูณกันได้ 15 และ และรวมกันได้ 8 จะได้ 3 และ 5
ดังนั้น x2 + 8x + 15 เท่ากับ (x+3)(x+5)
จากข้อ 2
x2 -8x +15 = (x- )(x- )
( ดูจาก 15 และ – 8x ต่อไปว่าจำนวนนับอะไรคูณกันได้ 15 และรวมกันได้ 8 จะได้ 3 และ 5)
ดังนั้น x2 -8x +15 = (x-3)(x-5)
จากข้อ 3
x2 + 2x – 15 = (x- )(x+ ) ( ดูจาก – 15) คิดต่อไปว่าจำนวนนับอะไรคูณกันได้ -15 และต่างกัน 2 จะได้ 3 และ 5 เนื่องจากผลกลางคือ 2x จึงใส่ 5 ไว้ที่บวกและใส่ 3 ไว้ที่ลบ
ดังนั้น x2 + 2x – 15 = (x-3)(x+5)
จากข้อ 4
x2 – 2x – 15 = (x – )(x+ ) ( ดูจาก – 15)
คิดต่อไปว่าจำนวนนับอะไรคูณกันได้ 15 และ 3 ชั้น 2 จะได้ 3 และ 5 เนื่องจากผลกลางคือ – 2x จึงใส่ 5 ไว้ที่ลบและใส่ 3 ไว้ที่บวก
ดังนั้น x2 – 2x – 15 = (x – 5)(x+3)
- ผลต่างกำลังสอง ผลต่างกำลังสาม และผลบวกกำลังสาม
1. ผลต่างกำลังสอง
(น-ล)(น+ล) = น2 – ล2
ตัวอย่างเช่น
4x2 – 9y2 = (2x)2 – (3y)2 = (2x – 3y)(2x + 3y)
2x2 – 3z = 2 (x2 – 16)
= 2(x2 – 42)
= 2(x-4)(x+4)
2. ผลต่างกำลังสาม
(น-ล)( น2 + 2นล + ล2) = น3 – ล3
ตัวอย่างเช่น
8x3 – 27y3 = (2x)3 – (3y)2
= (2x-3y)(4x2 + 6xy + 9y2)
3. ผลบวกกำลังสาม
(น+ล)( น2 – 2นล + ล2) = น3 + ล3
ตัวอย่างเช่น
8x2 + 27y2 = (2x)3 + (3y)3
- การแยกตัวประกอบโดยอาศัยกำลังสองสมบูรณ์
รูปกำลังสองสมบูรณ์มี 2 รูป
1.x2 + 2ax + a2 = (x+a) 2
2.x2 – 2ax + a2 = (x – a)2
- เพิ่มลดพจน์กลางแล้วแยกผลต่างกำลังสอง
มักพบกับพหุนามดีกรี 4 และมี 3 พจน์
จงแยกตัวประกอบ
- x4 + x2y2 + y4 = (x2 + y2)2 – x2 y 2
= (x2 + y2)2 – (xy)2
= (x2 + y2 – xy)(x2 + y2 + xy)
- 4 พจน์จับคู่ให้เกิดวงเล็บร่วม
หากน้อง ๆ เจอพหุนามดีกรีที่มากกว่าสอง สามารถใช้วิธีนี้ในการแยกตัวประกอบได้ เช่น
การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสาม
จงแยกตัวประกอบ
x 3 + 2 x2 -9x – 18 = (x3 + 2x2)-(9x+18)
= x2 (x+2)-9(x+2)
= (x+2)(x2 – 9)
= (x+2)(x-3)(x+3)
- สี่พจน์จัดรูปผลต่างกำลังสอง
จงแยกตัวประกอบ
x 2 + 2 x y + Y2 – 36 = (x2 + 2xy + y2) -36
= (x+y)2 – 62
= (x+y-6)(x+y+6)
- ทฤษฎีบทตัวประกอบ
ทฤษฎีบทเศษเหลือ x – c หาร p(x) เศษคือ p(c)
ตัวอย่าง
ให้ P(x) = x2 – x -2
P(3) = 32 – 3 -2 = 4
สูตรการแยกตัวประกอบพหุนาม
| 1.(น+ล)2 = น2 + 2นล + ล2 2.(น-ล)2 = น2 – 2นล + ล2 3.(น-ล)(น+ล) = น2 – ล2 4.(น-ล)( น2 + 2นล + ล2) = น3 – ล3 5.(น+ล)( น2 – 2นล + ล2) = น3 + ล3 6.(น+ล)3 = น3 + 3น2 ล + 3นล2 + ล3 7.(น-ล)3 = น3 – 3น2 ล + 3นล2 – ล3 |
วิธีทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์สำหรับการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง
พหุนามดีกรีสองที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ดังตัวอย่างข้างต้น มีดังลักษณะพิเศษที่สังเกตได้ดังนี้
1. x2 + 6x + 9 = x2 + 2(3)x + 32
= (x + 3)2
ถ้าให้ x เป็นพจน์หน้าและ 3 เป็นพจน์หลัง
จะเขียนความสัมพันธ์ได้ดังนี้
(พจน์หน้า)2 + 2(พจน์หน้า)(พจน์หลัง) + (พจน์หลัง)2 = (พจน์หน้า + พจน์หลัง)2
2. x2 – 8x + 16 = x2 – 2(4)x + 42
= (x – 4)2
ถ้าให้ x เป็นพจน์หน้าและ 4 เป็นพจน์หลัง จะเขียนความสัมพันธ์ได้ดังนี้
สูตรการแยกตัวประกอบ
(พจน์หน้า)2 – 2(พจน์หน้า)(พจน์หลัง) + (พจน์หลัง)2 = (พจน์หน้า – พจน์หลัง)2
การแยกตัวประกอบของพหุนามด้วยทฤษฎีบทเศษเหลือ-ตัวประกอบ
หลักการคิดทฤษฎีบทเศษเหลือคือ การนำตัวหารมาตั้ง = 0 เช่น x -2 =0 จะได้ x = 2 จากนั้นนำไปแทนใน P(x) หากได้ P(x) = 0 แสดงว่าเศษเป็น 0 หรือหารลงตัวนั่นเอง
ตัวอย่าง x – 3 หาร x2 – x -2 เหลือเศษเท่าไร
วิธีทำ ให้ P(x) = x2 – x -2
P(3) = 32 – 3 -2 = 4
ดังนั้นเศษเท่ากับ 4
ตัวอย่าง x + 3 หาร x2 -x -2 เศษเหลือเท่าไร
วิธีทำ ให้ P(x) = x2 -x -2
ดังนั้น x + 3 = x-(-3)
P(-3) = (-3)2 -(-3) -2
= 10
ดังนั้นเศษเท่ากับ 10
โจทย์การแยกตัวประกอบพหุนามกำลังสอง-ผลต่างกำลังสอง
โจทย์การแยกตัวประกอบพหุนามกำลังสอง-ทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์
- จงแยกตัวประกอบ x2 + 6x + 8 โดยวิธีทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์
วิธีทำ x2 + 6x + 8 = x2 + 6x + (62)2 – (62)2 + 8
= (x+ 62)2 – (62)2 + 8
= (x+3)2 – (3)2 + 8
= (x+3)2 – 9 + 8
= (x+3)2 – 1
= (x+3)2 – 12
= (x+3-1)(x+3+1)
= (x+2)(x+4)
- จงแยกตัวประกอบ x2 – 7 x + 11 โดยการทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์
แบบฝึกหัด การแยกตัวประกอบของพหุนาม พร้อมเฉลย
- จงแยกตัวประกอบพหุนาม X 2 + 10x + 10 ดูวิธีการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์
คำถามที่พบบ่อย (FAQ)
การแยกตัวประกอบมีอะไรบ้าง
การแยกตัวประกอบมีหลายวิธีด้วยกัน เช่น การดึงตัวร่วม / การแยกเป็นสองวงเล็บ / ผลต่างกำลังสอง / ผลต่างกำลังสาม / ผลบวกกำลังสาม / การแยกตัวประกอบโดยการทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์ / การเพิ่มลดพจน์กลาง / 4 พจน์จับคู่ให้เกิดวงเล็บร่วม / ทฤษฎีบทตัวประกอบ / ทฤษฎีเศษเหลือ ซึ่งได้อธิบายไว้แล้วข้างต้น
สมบัติการแยกตัวประกอบ มีอะไรบ้าง
การแจกแจง ซึ่งใช้ในการดึงตัวร่วม รวมไปถึงการแยกตัวประกอบเป็นสองวงเล็บ
การแยกตัวประกอบมีกี่วิธี
การแยกตัวประกอบ มี 2 วิธีหลัก ๆ คือ การแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสอง และ การแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีมากกว่าสอง
การแยกตัวประกอบ สรุป
การแยกตัวประกอบ คือ การเขียนพหุนามในรูปการคูณของพหุนาม ซึ่งตัวประกอบแต่ละวงเล็บต้องมีดีกรีน้อยกว่าพหุนามเดิม สามารถทำได้หลายวิธี ตามรูปแบบของพหุนามนั้น ๆ เช่น การดึงตัวร่วม / การทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์ / การใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ เป็นต้น
การแยกตัวประกอบแม้จะมีหลายวิธี แต่หากน้อง ๆ ฝึกทำโจทย์อย่างสม่ำเสมอจะสามารถแยกได้เลยว่าแต่ละข้อควรใช้วิธีไหนถึงจะเหมาะสม พี่ ๆ อยากจะฝากสาระดี ๆ สรุปเนื้อหาย่อทุกวิชา พร้อมแบบฝึกหัดครบถ้วนแบบนี้ไว้ให้น้อง ๆ ได้หมั่นศึกษาและพัฒนาตัวเองอย่างต่อเนื่อง ไว้ในตัวช่วยของน้องนักเรียนทุกคน รวมถึงผู้ปกครองทุกท่านที่มีความตั้งใจจะช่วยลูก ๆ หลาน ๆ ในการพัฒนาด้านการเรียนนะคะ
