สรุปเนื้อหาการแก้สมการ ม.ต้น

ก่อนจะไปถึงเรื่องการแก้สมการ เราต้องมาทบทวนความหมายของคำว่าสมการกันก่อน “สมการ” ก็คือ ประโยคสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ ที่ใช้แสดงถึงความเท่ากันของจำนวน โดยมีเครื่องหมายเท่ากับ (=) เป็นตัวเชื่อม ซึ่งสมการนั้นจะมีหรือไม่มีตัวแปรก็ได้ เช่น 3 + 5  =  8, 15 – x = 13 เป็นต้น

ชนิดของสมการ

“สมการ” สามารถแบ่งออกเป็น 3 ชนิด ได้แก่

1. สมการที่เป็นจริง : สมการที่มีจำนวนด้ายซ้ายและด้านขวาเท่ากัน เช่น

ตัวอย่างสมการที่ยกตัวอย่างมานั้น เป็นสมการที่เป็นเอกลักษณ์ ซึ่งแปลว่าสมการจะเป็นจริงโดยไม่ต้องมีการแทนค่าใดๆลงในตัวแปรเลย 

2. สมการที่เป็นเท็จ : สมการที่มีจำนวนด้านซ้ายและด้านขวาไม่เท่ากัน เช่น
   

3. สมการที่มีตัวแปรไม่ทราบค่า : ก็คือสมการที่มีตัวแปรไม่ทราบค่า สมการจะเป็นจริงแค่เพียงค่าเดียว และเป็นเท็จเมื่อแทนค่าอื่นๆ นอกเหนือจากค่านั้น เช่น

การแก้สมการ

“การแก้สมการ” ก็คือ การหาคำตอบของสมการซึ่งจะทำให้สมการนั้นเป็นจริง
ซึ่งแบ่งออกเป็นสองวิธีด้วยกัน คือ

• การแทนค่าตัวแปร เป็นวิธีทดลองแทนค่าของตัวแปรในสมการ ถ้าจำนวนใดนำมาแทนค่าแล้วทำให้สมการเป็นจริง แสดงว่าจำนวนนั้นเป็นคำตอบของสมการ เช่น 

ตัวอย่าง

• การใช้คุณสมบัติของการเท่ากัน เป็นการนำคุณสมบัติการเท่ากันทั้งในเรื่อง การบวก การลบ การคูณและการหารมาใช้ในการแก้สมการ 

( ใส่รูป 1 )

ในการเรียนเรื่องสมการ เราจะพบสมการที่มีตัวแปรไม่ทราบค่าอยู่เสมอ ซึ่งในชั้นมัธยมต้น เราจะได้ทำความรู้จักกับสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวและสมการเชิงเส้นสองตัวแปร มาดูกันว่าสมการทั้งสองแบบแตกต่างกันอย่างไร 

สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

“สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว” คือ สมการที่มีตัวแปรไม่ทราบค่าและเลขชี้กำลังของตัวแปรเป็น 1 ตัวแปรอาจจะมีอยู่ข้างใดข้างหนึ่งของเครื่องหมายเท่ากับ ( = ) หรืออาจจะมีอยู่ทั้งสองข้างเลยก็ได้ ถ้าจัดให้อยู่ในรูปผลสำเร็จจะได้ว่า

สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวจะมีคำตอบเพียงค่าเดียวเท่านั้น ซึ่งก็คือ จำนวนที่เมื่อนำไปแทนค่าตัวแปรในสมการแล้ว ทำให้สมการนั้นเป็นจริง 

( ใส่รูป 2 )

การแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

การแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว จะต้องใช้สมบัติการเท่ากันของจำนวน ที่บอกว่าจำนวนสองจำนวนที่เท่ากัน เมื่อเพิ่มหรือตัดออกเท่ากันย่อมเท่ากัน ซึ่งสมบัติการเท่ากัน ได้แก่ ( ใส่รูป 3 )

วิธีการแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว 

มีหลักการดังนี้ 

• พยายามทำให้เป็นผลสำเร็จ โดยจัดให้ตัวแปรและค่าคงตัวอยู่คนละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ (=) 
• เมื่อไหร่ที่มีวงเล็บ ต้องถอดวงเล็บทิ้งไป โดยต้องไม่ลืมเปลี่ยนเครื่องหมายจำนวนในวงเล็บ เมื่อหน้าวงเล็บมีเครื่องหมาย “ – “ 
• การแก้สมการเศษส่วน เมื่อจำนวนส่วนมากอยู่ในรูปเศษส่วน ต้องทำให้ส่วนหมดไปโดยการนำ ค.ร.น. ของส่วนทั้งหมดคูณไปตลอดสมการนั้น 

( ใส่รูป 4 )

โจทย์สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

โจทย์สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว จะมีข้อความที่ไม่ทราบค่าอยู่และมีข้อความที่เกี่ยวข้องอีกหลายประโยคอยู่ในนั้นด้วย ซึ่งจะมีความสัมพันธ์กับข้อความนั้นๆทั้งทางตรงและทางอ้อม การแก้ปัญหาโจทย์สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ก็คือ การหาคำตอบของโจทย์ โดยใช้วิธี กำหนดตัวแปรแทนข้อความที่ไม่ทราบค่า
เรานิยมใช้ X เป็นตัวแปร แล้วสร้างเป็นสมการขึ้น 

ตัวอย่าง

นายเอมีเงินมากกว่านายบีอยู่ 12 บาท นายเอและนายบีมีเงินรวมกันอยู่ 88 บาท นายเอมีเงินเท่าไหร่ 

วิธีทำ สมมติให้นายเอมีเงิน X บาท 

เราจะได้ว่า นายบีมีเงิน X – 12 บาท

นายเอและบีมีเงินรวมกัน 88 บาท

สมการที่ได้คือ   X + (X – 12)  =  88

  2X – 12      = 88

2X     =  88+12

X       =  100/2  =  50

ตอบ นายเอมีเงิน 50 บาท 

หลักในการแก้โจทย์ปัญหาสมการทั่วๆไป 

• อ่านโจทย์แล้วกำหนดตัวแปรแทนข้อความที่ยังไม่ทราบค่า อาจจะมีข้อความเดียวหรือหลายข้อความ โดยมากจะกำหนดตัวแปรตรงข้อความที่โจทย์ถาม แต่ไม่ทุกครั้ง สิ่งที่ต้องระวังคือ เวลาตอบต้องไปตอบเป็นค่าตัวแปร แต่จะต้องนำค่าตัวแปรไปแทนข้อความที่โจทย์ถาม 
• เรามักกำหนดตัวแปรแทนข้อความที่ไม่ทราบค่าซึ่งมีอยู่หลายข้อความในโจทย์ 
• เครื่องหมายเท่ากับ (=) มักมาจากข้อความ เป็น, อยู่, จะได้หรือได้, เท่ากับ, รวมกับ, ต่างกัน หรือมาจากการสร้างความสัมพันธ์ระหว่างข้อความ 
• ระมัดระวังในการใช้เครื่องหมาย เพื่อไม่ให้ตั้งสมการผิด
• ต้องพิจารณาว่าโจทย์ถามอะไร แล้วใส่ตัวแปรแทนข้อความ ใส่หน่วยของตัวแปร แล้วนำตัวแปรไปสร้างความสัมพันธ์ในรูปสมการ เมื่อได้คำตอบของสมการ ต้องสังเกตว่าคำตอบสอดคล้องกับโจทย์หรือไม่ ถ้าไม่อาจเกิดความผิดพลาดที่ใดที่หนึ่ง เช่น คิดเลขผิด เข้าสมการไม่ถูก ลืมเปลี่ยนเครื่องหมายเป็นต้น 

ตัวอย่าง 

นายเอมีเงินมากว่านายบี 320 บาท แต่นายบีมีเงินน้อยกว่านายซี 125 บาท ทั้งสามคนมีเงินรวมกัน 1,000 บาท แต่ละคนมีเงินเท่าไหร่ 

( ใส่รูป 5 )

สมการเชิงเส้นสองตัวแปร

“สมการเชิงเส้นสองตัวแปร” คือ สมการของความสัมพันธ์เชิงเส้นที่แสดงความเกี่ยวข้องระหว่างปริมาณสองชุด หรือตัวแปรสองตัวตามชื่อของมัน โดยใช้ตัวแปร x และ y ที่มีดีกรี 1 และมีรูปทั่วไปของสมการคือ 

Ax + By + C = 0 

เมื่อ x, y เป็นตัวแปร, 

A,B,C เป็นค่าคงที่ 

A และ B ไม่เท่ากับศูนย์พร้อมกัน 

ข้อสังเกตของสมการเชิงเส้นสองตัวแปร

• มีตัวแปรสองตัว คือ x และ  y 
• ไม่มี xy หรือการคูณกันของตัวแปร
• เลขชี้กำลังของตัวแปรเป็น 1 (ดีกรี1)
• สัมประสิทธิ์ของตัวแปรไม่เป็น 0 พร้อมกัน เมื่อ A = 0 สมการจะอยู่ในรูป By + C = 0 
• ถ้าไม่ได้ระบุเงื่อนไขของ x และ y ให้ x และ y เป็นจำนวนจริงใดๆ
• กราฟของสมการเชิงเส้นสองตัวแปรเป็นเส้นตรง จึงเรียกว่า กราฟเส้นตรง เช่น  2x + y – 4 = 0 

การแก้สมการเชิงเส้นสองตัวแปร (การแก้สมการ x,y)

“การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร”เป็นการแก้สมการเพื่อหาคำตอบของสมการเชิงเส้นสองตัวแปร ซึ่งได้แก่ คู่อันดับ (x,y) เมื่อนำค่า x และ y ไปแทนค่าในสมการทั้งสองจะทำให้ระบบสมการเป็นจริง
สามารถทำได้สองวิธี คือ 

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรโดยใช้กราฟ

เราจะวาดกราฟขึ้นมาเพื่อหาคำตอบของสมการ โดยจุดตัดของกราฟก็คือคำตอบของสมการนั่นเอง 

( ใส่รูป 6 )

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรโดยใช้วิธีการทางพีชคณิต แบ่งเป็นสองวิธี คือ 

1. วิธีแทนค่าตัวแปร : ทำได้โดยการจัดการสมการให้มีตัวแปรใดตัวแปรหนึ่งอยู่ตัวเดียวในด้านใดด้านหนึ่ง จากนั้นนำค่าตัวแปรแทนในสมการ เพื่อหาค่าตัวแปร นำคำตอบที่ได้ไปแทนในสมการเริ่มต้นของโจทย์อีกครั้งเพื่อหาคำตอบของตัวแปรที่เหลือ 

( ใส่รูป 7 )

2. วิธีจัดการตัวแปร : เลือกกำจัดตัวแปรใดตัวแปรหนึ่ง แล้วหาค่าอีกตัวหนึ่ง เมื่อได้คำตอบ ก็นำคำตอบไปแทนค่าในสมการ เพื่อหาค่าของตัวแปรที่เหลือ 

( ใส่รูป 8 )

โจทย์สมการเชิงเส้นสองตัวแปร

โจทย์สมการเชิงเส้นสองตัวแปรจะซับซ้อนกว่าโจทย์สมการตัวแปรเดียว เราจะต้องวิเคราะห์ว่าโจทย์ถามอะไรและต้องการอะไร และแปลงโจทย์ปัญหานั้นให้เป็นสมการ 2 สมการขึ้นไป แก้สมการเพื่อหาคำตอบ 

ตัวอย่าง

ในการแข่งขันฟุตบอลรอบชิงชนะเลิศ มีผู้เข้าชมการแข่งขันซื้อบัตรผ่านประตูจำนวน 610 คน บัตรผ่านประตูมีสองราคา คือ 100 บาทและ 50 บาท ปรากฎว่าเก็บค่าผ่านประตูได้เป็นเงิน 45,200 บาท อยากทราบว่าสามารถขายบัตรราคา 100 บาทและ 50 บาทไปอย่างละกี่ใบ

วิธีทำ  

กำหนดให้จำนวนบัตรราคา 100 บาทที่ขายได้ = x

และจำนวนบัตรราคา 50 บาทที่ขายได้ = y

มีผู้เข้าชมการแข่งขันฟุตบอลซื้อบัตรผ่านประตู 610 คน

เขียนเป็นสมการได้ว่า x + y  =  610 —— (1) 

บัตรใบละ 100 บาท สามารถขายได้ 100x บาท และ

บัตรใบละ 50 บาท สามารถขายได้ 50y บาท

ขายบัตรได้เงินทั้งสิ้น  42,500 บาท

เขียนเป็นสมการได้ว่า  100x + 50y  = 45,200 —- (2)

เริ่มนำสมการทั้งสองมาแก้สมการ 

นำสมการที่ (1) มาคูณด้วย 50 ค่าสัมประสิทธ์ตัวแปรจะได้เท่ากัน เพื่อแก้สมการ จะได้ว่า 

50x + 50y    =    30,500  ——— (3) 

นำสมการที่ (2) – (3) จะได้ 

100x + 50y – 50x – 50y  = 45,200 – 30,500

50x = 14,700

x = 14,700/50 

x = 294

นำคำตอบที่ได้ คือ x = 294 ไปแทนค่าในสมการที่ (1) 

294 + y  =  610

y  = 610 – 294

y = 316

คำตอบคือ บัตรราคา 100 บาท ขายได้ 294 ใบ และบัตรราคา 50 บาท ขายได้ 316 ใบ

การแก้สมการเป็นเรื่องที่เข้าได้ไม่ยาก แต่มีขั้นตอนและเทคนิคที่น้องๆ ต้องฝึกฝนทำโจทย์และแบบฝึกหัดอย่างสม่ำเสมอ เพื่อเรียนรู้วิธีการในการแก้โจทย์ที่พลิกแพลงได้ พี่ At Home มีคอร์สเรียนน่าสนใจเรื่องการแก้สมการ ที่จะช่วยตะลุยโจทย์การแก้สมการไปด้วยกัน พร้อมแนะเทคนิคและวิธีลัดมากมาย หรือใครอยากเรียนตั้งแต่เริ่มต้น ปูพื้นฐานเรื่องสมการ At Home ก็จัดให้ได้ ลองเข้าไปเลือกคอร์สที่เหมาะกับน้องๆได้เลย 

คำถามที่พบบ่อย (FAQ)