สรุปสูตร แคลคูลัส ม.ปลาย พร้อมแบบฝึกหัดโจทย์เฉลยแบบละเอียด เตรียมฟิตพิชิตข้อสอบ

แคลคูลัสเบื้องต้น คือ สาขาหลักของคณิตศาสตร์ซึ่งพัฒนามาจากพีชคณิต เราขาคณิต และปัญหาทางฟิสิกส์ โดยมีต้นกำเนิดจากสองแนวคิดหลัก ดังนี้ แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ (Differential Calculus) เป็นทฤษฎีที่ว่าด้วยอัตราการเปลี่ยนแปลง และเกี่ยวข้องกับการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นทางคณิตศาสตร์  แนวคิดที่สองคือ แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ (Integral Calculus) เป็นทฤษฎีที่ได้แรงบันดาลใจจากการคำนวณหาพื้นที่หรือปริมาตรของรูปทรงทางเรขาคณิตต่าง ๆ

ลิมิตของฟังก์ชัน

บทนิยาม

ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิต

เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใด ๆ 

1.ถ้า f(x) = c เมื่อ c เป็นค่าคงตัวใด ๆ แล้ว

2.ถ้า f(x) = xⁿ เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกแล้ว

3.เมื่อ L และ M เป็นจำนวนจริงใด  f และ g เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของจำนวนจริง

4. ถ้า  f(x)  = c_n xⁿ + c_n-1 x ^n-1 + …..+ c₁ x + c₀  เป็นฟังก์ชันพหุนามแล้ว

5. ถ้า f เป็นฟังก์ชันตรรกยะโดยที่  f(x)  = g(x)h(x) เมื่อ g(x) และ h(x) เป็นฟังก์ชันพหุนามแล้ว

6. เมื่อ L เป็นจำนวนจริงใด ๆ  f และ g เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของจำนวนจริง

7. เมื่อ f และ g เป็นฟังก์ชันที่โดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของจำนวนจริง 

ดังนั้น การหาลิมิตของฟังก์ชันประเภทนี้ต้องพยายามกำจัดรูป  00 ทิ้ง จนกระทั่งไม่อยู่ในรูป 00 

โดยอาจใช้วิธี

1. แยกตัวประกอบ
2. คูณด้วยเทอมที่เป็นสังยุค

นอกจากนี้อาจใช้วิธีอื่นได้อีก เช่น กฎของโลปิตาล

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน

---

บทนิยาม

1. เรากล่าวว่า f มีอนุพันธ์บนช่วงเปิด (a,b) ก็ต่อเมื่อ f มีอนุพันธ์ ทุก ๆ จุด x   (a,b)
2. เรากล่าวว่า f มีอนุพันธ์บนช่วงเปิด [a,b] ก็ต่อเมื่อ f มีอนุพันธ์บนช่วงเปิด (a,b) f
   มีอนุพันธ์ทางขวาที่ x = a และ f มีอนุพันธ์ทางซ้ายที่ x = b

---

อนุพันธ์ของ f ที่ x = a เขียนแทนด้วย f’(a) 

---

บทนิยาม 

f’(a) = xaf(a+h) – f(a)h เมื่อลิมิตมีค่า

---

ถ้าให้ x = a + h เมื่อ h → 0 จะได้ว่า x → a ดังนั้นเราสามารถสรุปเป็นทฤษฎีบทได้ดังนี้

ทฤษฎีบท

f’(a) = xaf(x) – f(a)x-a เมื่อลิมิตมีค่า

และ xaf(x) – f(a)x-a จะหาค่าได้ก็ต่อเมื่อ

xa-f(x) – f(a)x-a = xa+f(x) – f(a)x-a

---

ทฤษฎีบท

ถ้า f มีอนุพันธ์ที่ x =a แล้ว f จะมีความต่อเนื่องที่ x = a 

สรุป

1. ถ้า f มีอนุพันธ์ที่ x = a แล้ว f ก็ต่อเนื่องที่ x = a
2. ถ้า f ไม่ต่อเนื่องที่ x = a แล้ว f จะไม่มีอนุพันธ์ที่ x = a
3. ถ้า f ต่อเนื่องที่ x = a แล้วอาจจะมีหรือไม่มีอนุพันธ์ที่ x = a

---

อัตราการเปลี่ยนแปลง

การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันพีชคณิตโดยใช้สูตร

กฎของโลปิตาล

ให้ f และ g เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้โดยที่ g’(x)  0 และ a R

ถ้า    xaf(x) = 0 และ  xag(x)  = 0 แล้ว

xaf(x) g(x) = xaf'(x) g'(x)

เมื่อ          xaf'(x)g'(x)  หาค่าได้

ถ้า          xaf'(x)g'(x)   อยู่รูป 00  ให้ทำซ้ำได้อีกจนสามารถหาค่าลิมิตได้

อนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ

ความชันของเส้นโค้ง

ถ้า y = f(x) เป็นสมการเส้นโค้ง และ f หาอนุพันธ์ได้ที่ x

1. ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด (x,y) ใด ๆ = f’(x)
2. ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด (x1, y1) = f’(x1)
3. ความชันของเส้นปกติที่จุด (x1,y1) = -1f’(x1) , f’(x1) 0
4. สมการของเส้นตรงที่มีความชัน = m และผ่านจุด  (x1,y1) คือ y-y1 = m(x-x1)

อนุพันธ์อันดับสูง

---

การประยุกต์ของอนุพันธ์

1. ฟังก์ชันเพิ่มและฟังก์ชันลด

บทนิยาม

ฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วง I ถ้าสำหรับสองจำนวน x1,x2 ใด ๆ ในช่วง I
ซึ่ง x1 < x2  แล้ว f(x1) < f(x2)

ฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชันลดบนช่วง I ถ้าสำหรับสองจำนวน x1, x2 ใด ๆ 

ในช่วง I ซึ่ง x1 < x2   แล้ว f(x1) > f(x2)

2. ค่าสูงสุดสัมพัทธ์และค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชัน

บทนิยาม

ฟังก์ชัน f จะมีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่ x = x₀  ถ้ามีช่วงเปิด (a,b) ซึ่ง x₀ (a,b)

และ f(x₀) f(x) สำหรับทุก ๆ x (a,b) และค่าสูงสุดสัมพัทธ์คือ f(x₀)

ฟังก์ชัน f จะมีค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ที่ x = x₀  ถ้ามีช่วงเปิด (a,b) ซึ่ง x₀ (a,b)

และ f(x₀) f(x) สำหรับทุก ๆ x (a,b) และค่าต่ำสุดสัมพัทธ์คือ f(x₀)

บทนิยาม

ถ้า x₀ อยู่ในโดเมนของ f โดยที่ f’( x₀) = 0 หรือ  f’( x₀) หาค่าไม่ได้ แล้วจะเรียก  x₀  ว่าค่าวิกฤตของ f ถ้า  x₀  เป็นค่าวิกฤตของ f แล้วเรียกจุด (x₀ , f(x₀ )) ว่าจุดวิกฤต

---

3. ค่าสูงสุดสัมบูรณ์และค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ของฟังก์ชัน

บทนิยาม

1. ฟังก์ชัน f มีค่าสูงสุดสัมบูรณ์ ที่ x = x₀ 
   ถ้า f( x₀ ) f(x) สำหรับทุก x ในโดเมนของ f แล้วเราจะเรียก f(x₀) ว่าเป็นค่าสูงสุดสัมบูรณ์ของ f

2. ฟังก์ชัน f มีค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ ที่ x = x₀ 
   ถ้า f(x₀) f(x) สำหรับทุก x ในโดเมนของ f แล้วเราจะเรียก f(x₀) ว่าเป็นค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ของ f

ปฏิยานุพันธ์

ให้ f เป็นฟังก์ชันที่กำหนดให้ และ F เป็นฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์เท่ากับ f นั่นคือ F’(x) = f(x)

บทนิยาม

ฟังก์ชัน F ซึ่ง F’(x) = f(x) สำหรับทุก x ว่าเป็น “ปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชัน f”

ปริพันธ์ไม่จำกัดเขต

สัญลักษณ์แทนการหาปฏิยานุพันธ์ของ f(x) ได้เป็น f(x)d(x)  อ่านว่า
“ปริพันธ์ไม่จำกัดเขตของฟังก์ชัน f เทียบกับตัวแปรx” 

สรุป แคลคูลัส สั้น ๆ หาปริพันธ์ไม่จำกัดเขต

อินทิเกรดจำกัดเขต

การหาพื้นที่ใต้เส้นโค้ง แคลคูลัส สรุป

ขั้นตอนการหาพื้นที่ใต้กราฟ

1. หาจุดตัดแกน x 
2. คำนวณหาพื้นที่ในแต่ละส่วน

คำถามที่พบบ่อย (FAQ)