สรุปคณิต เรื่อง วงกลม กฎ-สูตร พร้อมแบบฝึกหัดและเฉลย ครบจบพร้อมเข้าห้องสอบ

วงกลม เป็นรูปเรขาคณิตสองมิติอย่างหนึ่งที่มีสมบัติและความสัมพันธ์กันที่น่าสนใจมากระหว่างองค์ประกอบภายในทั้งหมดนั้น แน่นอนว่าเป็นเรื่องใหม่ที่น้องม.3 ต้องทำความเข้าใจ แต่ไม่ต้องกังวลไปน้า เพราะพี่ ๆ ATHOME ได้รวบรวมเอาข้อสอบพร้อมเฉลยดี ๆ มาให้น้อง ๆ ได้ฝึกทำกันแล้วนะคะ

ส่วนต่าง ๆ ของวงกลม

( รอใส่รูปภาพ 1 )

การเรียกชื่อวงกลมวงหนึ่งที่มีจุดศูนย์กลางตามที่กาหนดให้ อาจเรียกตามชื่อของจุดศูนย์กลาง ของวงกลมนั้น เช่น วงกลมที่มีจุด O เป็นจุดศูนย์กลาง อาจเรียกว่า วงกลม O

รัศมีของวงกลม หมายถึง ระยะระหว่างจุดศูนย์กลางของวงกลมและจุดบนวงกลม หรือ หมายถึง ส่วนของเส้นตรงที่มีจุดศูนย์กลางและจุดบนวงกลมเป็นจุดปลาย

วงกลมวงหนึ่งมีรัศมีเป็นจานวนมากมายนับไม่ถ้วน และรัศมีของวงกลมเดียวกันจะยาวเท่ากันทุกเส้น
วงกลมสองวงท่ีมีรัศมียาวเท่ากัน สามารถขยับให้วงกลมสองวงน้ันทับกันได้สนิท
สามารถกล่าวได้ว่า ” กลมสองวงที่มีรัศมียาวเท่ากันทุกประการ “

นอกจากส่วนประกอบต่าง  ๆ ของวงกลมที่กล่าวมาแล้วนั้น ยังมีส่วนอื่น ๆ ที่มีความสำคัญมาก ไม่ว่าจะเป็น คอร์ด เส้นตัดวงกลม และเส้นสัมผัสวงกลม

คอร์ด คือ ส่วนของเส้นตรงที่มีจุดปลายทั้งสองอยู่บนวงกลมเดียวกัน คอร์ดแต่ละเส้นจะแบ่ง วงกลมออกเป็นส่วนโค้งสองส่วนโค้ง

ครึ่งวงกลม คือ เส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่มีคอร์ดยาวที่สุดซึ่งแบ่งวงกลมออกเป็นส่วนของเส้นโค้งสองส่วนที่เท่ากันทุกประการ 

ทฤษฎีเกี่ยวกับมุมที่จุดศูนย์กลางและมุมในส่วนของวงกลม

ทฤษฎีบท  มุมในครึ่งวงกลมมีขนาด 90 องศา หรือหนึ่งมุมฉาก

ทฤษฎีบท  (มุมที่จุดศูนย์กลาง) มุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลมจะมีขนาดเป็นสองเท่าของขนาดของมุมในส่วนโค้งของวงกลมที่รองรับด้วยส่วนโค้งเดียวกัน

ทฤษฎีบท ในวงกลมเดียวกัน มุมในส่วนโค้งของวงกลมที่รองรับด้วยส่วนโ๕้งเดียวกันจะมีขนาดเท่ากัน

ทฤษฎีบท ในวงกลมที่เท่ากันทุกประการหรือในวงกลมวงเดียวกัน ถ้ามุมที่จุดศูนย์กลางมีขนาดเท่ากัน แล้วส่วนโค้งที่รองรับมุมที่จุดศูนย์กลางนั้นยาวเท่ากัน

ทฤษฎีบท (มุมในส่วนโค้งของวงกลม-ส่วนโค้งที่รองรับมุมนั้น) ในวงกลมที่เท่ากันทุกประการหรือในวงกลมวงเดียวกัน ถ้ามุมในส่วนโค้งของวงกลมนั้นมีขนาดเท่ากัน แล้วส่วนโค้งที่รองรับมุมทั้งนั้นยาวเท่ากัน

ทฤษฎีบท  ในวงกลมที่เท่ากันทุกประการหรือในวงกลมวงเดียวกัน ถ้าส่วนโค้งยาวเท่ากัน แล้วมุมที่จุดศูนย์กลางที่รองรับด้วยส่วนโค้งนั้นมีขนาดเท่ากัน

ทฤษฎีบท  (ส่วนโค้งของวงกลมที่รองรับมุม-มุมในส่วนโค้งของวงกลม) ในวงกลมที่เท่ากันทุกประการหรือในวงกลมวงเดียวกัน ถ้าส่วนโค้งยาวเท่ากัน แล้วมุมในส่วนโค้งของวงกลมที่รองรับด้วยส่วนโค้งนั้นจะมีขนาดเท่ากัน

ทฤษฎีบทวงกลมเกี่ยวกับคอร์ดวงกลม

ทฤษฎีบท  (ส่วนโค้งน้อย-ส่วนโค้งใหญ่) ในวงกลมที่เท่ากันทุกประการหรือในวงกลมวงเดียวกัน ถ้าคอร์ดสองคอร์ดยาวเท่ากัน แล้วคอร์ดทั้งสองจะตัดวงกลมทำให้ส่วนโค้งน้อยยาวเท่ากัน และส่วนโค้งยาวยาวเท่ากัน

ทฤษฎีบท   (คอร์ด-ส่วนโค้งของวงกลม)  ในวงกลมที่เท่ากันทุกประการหรือในวงกลมวงเดียวกัน ถ้าคอร์ดสองคอร์ดตัดวงกลมทำให้ส่วนโค้งน้อยยาวเท่ากัน และส่วนโค้งใหญ่ยาวเท่ากันแล้วคอร์ดทั้งสองคอร์ดนั้นจะยาวเท่ากัน

ทฤษฎีบท   (คอร์ด-จุดศูนย์กลางของวงกลม) ส่วนของเส้นตรงซึ่งผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลมและตัดคอร์ดที่ไม่ใช่เส้นผ่านศูนย์กลาง จะมีสมบัติดังนี้ 1. ถ้าส่วนของเส้นตรงตั้งฉากกับคอร์ด แล้วส่วนของเส้นตรงนั้นจะแบ่งครึ่งคอร์ด 2.ถ้าส่วนของเส้นตรงแบ่งครึ่งคอร์ด แล้วส่วนของเส้นตรงนั้นจะตั้งฉากกับคอร์ด

ทฤษฎีบท   (เส้นตรง-จุดศูนย์กลาง) เส้นตรงที่ตั้งฉากและแบ่งครึ่งคอร์ดของวงกลม จะผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลมนั้น

ทฤษฎีบท   มีวงกลมเพียง 1 วงเท่านั้นที่ผ่านจุด 3 จุด ที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

ทฤษฎีบท   (รูปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลม) ถ้ารูปสี่เหลี่ยมใด ๆ มีผลบวกของขนาดของมุมตรงข้ามเท่ากับสองมุมฉาก แล้วรูปสี่เหลี่ยมนั้นแนบในวงกลมได้

ทฤษฎีบท   (คอร์ด-จุดศูนย์กลาง) 1.ในวงกลมวงหนึ่ง ถ้าคอร์ดสองเส้นยาวเท่ากัน แล้วคอร์ดทั้งสองนั้นจะอยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางของวงกลมเป็นระยะเท่ากัน 2.ในวงกลมวงหนึ่ง ถ้าคอร์ดสองเส้นอยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางของวงกลมเป็นระยะเท่ากัน แล้วคอร์ดทั้งสองนั้นจะยาวเท่ากัน

ทฤษฎีบทเกี่ยวกับเส้นสัมผัสวงกลม

ทฤษฎีบท เส้นสัมผัสวงกลมจะต้องฉากกับรัศมีของวงกลมที่จุดสัมผัส

ทฤษฎีบท  (บทกลับ) เส้นตรงที่ตั้งฉากกับรัศมีของวงกลมที่จุดจุดหนึ่งบนวงกลม จะเป็นเส้นสัมผัสวงกลมที่จุดนั้น

ทฤษฎีบท  (จุดภายนอก-เส้นสัมผัส) ส่วนของเส้นตรงที่ลากมาจากจุดจุดหนึ่งภายนอกวงกลม มาสัมผัสวงกลมวงเดียวกัน จะยาวเท่ากันและมีได้สองเส้น

ทฤษฎีบท  (คอร์ด-เส้นสัมผัส) มุมที่เกิดจากคอร์ดและเส้นสัมผัสของวงกลมที่จุดสัมผัส จะมีขนาดเท่ากับขนาดของมุมในส่วนโค้งของวงกลมที่อยู่ตรงข้ามกับคอร์ดนั้น

ความสัมพันธ์ระหว่างเส้นสัมผัสกับคอร์ดวงกลม

โจทย์มุมที่จุดศูนย์กลางและมุมในส่วนโค้งของวงกลม

ทฤษฎีบทที่สำคัญเกี่ยวกับวงกลม

โจทย์ 1 จงเขียนรูปแสดงมุมที่จุดศูนย์กลาง-มุมในส่วนโค้งของวงกลม

วิธีทำ    มุมที่จุดศูนย์กลาง   

มุม 1 เป็นมุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลมรองรับด้วยส่วนโค้ง AB

มุม 2 เป็นมุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลมรองรับด้วยส่วนโค้ง ACB

มุมในส่วนโค้งของวงกลม

มุม A เป็นมุมในส่วนโค้งของวงกลมที่รองรับด้วยส่วนโค้ง BC

---

โจทย์มุมในครึ่งวงกลม

1. ให้ AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางวงกลม O และมุม BAC = 70 องศา จงหามุม ABC 

วิธีทำ 
เนื่องจากมุม ACB   =  90  องศา    เพราะมุมในครึ่งวงกลม

มุม A + มุม B + มุม C  = 180 องศา         เพราะมุมภายในสามเหลี่ยม

เท่ากับ 70 + มุม B + 90  = 180 องศา 

มุม  B  =  180 – 70 – 90 = 20 องศา คือมุม ABC

---

โจทย์เรื่องคอร์ดวงกลม

1. จากภาพ ให้ O เป็นจุดศูนย์กลางวงกลม จงหา 1. มุม 1  2. มุม 2  3. มุม 3   4. มุม 4

วิธีทำ     

จากรูปซ้ายมือ 
1. มุม 1 = 2(50) = 100 องศา

2.มุม  2 = 50 องศา

จากรูปขวามือ
1. มุม 3 = ครึ่งหนึ่งของมุม 80 องศา = ½ (80) = 40 องศา

2. มุม 4 = ครึ่งหนึ่งของมุม 80 องศา =   ½ (80) = 40 องศา

---

2. จากรูปต่อไปนี้จงหา 1. ขนาดของมุม 1  2. ขนาดของมุม 2

วิธีทำ  จากรูปจะพบว่ามุม 32 องศา อยู่บนเส้นโค้ง AB ซึ่งมุม 1 และมุม 2 ก็เช่นกัน จะได้ว่า

1. มุม 1 = 32 องศา     2. มุม 2 = 32 องศา  

ตอบ   1. 32 องศา     2. 32 องศา

---

3. ให้​ O เป็นจุดศูนย์กลางวงกลม จงหาค่ามุม

1. มุม x     2. มุม y
   

วิธีทำ  เราเขียนมุม u เพิ่มเข้าในไปรูป

ใช้หลักมุมที่จุดศูนย์กลาง

1. มุม AOB = 2(มุมx)      (มุมศูนย์กลางเป็น 2 เท่าของมุมที่เส้นรอบวง)

มุม x = 80/2 = 40 องศา

มุม u = มุม x  = 40 องศา    มุมที่ฐานของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว 

2. มุม PAQ = มุม PBQ     (มุมในส่วนของวงกลมเดียวกัน)

มุม y = มุม u – 15 องศา

มุม y  = 40 – 15 = 25 องศา

ตอบ   1. มุม x = 40 องศา      2. มุม y = 25 องศา

---

โจทย์เส้นตัดวงกลม

1. จงหาขนาดของ x จากรูป
   

วิธีทำ 1.  60 องศา + มุม DCO = 90 องศา     เพราะเส้นสัมผัส AB ตั้งฉากกับรัศมี OC

มุม  DCO = 90 องศา – 60 องศา  = 30 องศา

แต่สามเหลี่ยม ODC เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว เพราะ รัศมี DO = รัศมี OC 

จะได้   มุม ODC  = DCO        เพราะมุมของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

= 30 องศา

ดังนั้น มุม DOC = 180 – 30 – 30 เพราะมุมในสามเหลี่ยม, มุม DOC = 120 องศา (=มุม x)

---

2. หา  y จากในรูปสี่เหลี่ยม ABOC ได้ มุม A + มุม ABO + มุม y + มุม ACO = 360 องศา

จะได้  70 + 90 + มุม y + 90   =  360

มุม y  =  360 – 70 – 90 – 90 = 110 องศา

หามุมที่เส้นรอบวง คือ หามุม x

มุมที่จุดศูนย์กลาง (คือ มุม y) = 2 เท่าของมุมที่เส้นรอบวง

จะได้  มุม y  =  2  มุม x

    110 องศา  =  2 มุม x

    มุม x  = 110/2  =  55 องศา

ตอบ  1. มุม x = 120 องศา     2. มุม x = 55 องศา

---

เฉลย แบบฝึกหัด วงกลม  แบบฝึกหัดแบบละเอียด

1. จากรูปที่กำหนดให้ต่อไปนี้ จงหาค่า x และ y โดยกำหนดให้ O เป็นศูนย์กลางของวงกลม

วิธีทำ   y = 90 องศา เป็นมุมภายในครึ่งวงกลม

y + x + 40 = 180 องศา  มุมภายในของรูปสามเหลี่ยมรวมกันได้ 180 องศา

x  =  180 – 90 – 40 

ดังนั้น  x = 50 องศา และ y = 90 องศา

---

2. จากรูป ส่วนของเส้นตรง AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม O และมุม BAC = 65 องศา จงหาขนาดของมุม ABC

วิธีทำ   มุม ACB  =  90 องศา  เป็นมุมในครึ่งวงกลม

มุม CAB + ABC + BCA = 180 องศา  มุมภายในของรูปสามเหลี่ยมรวมกันได้ 180 องศา

มุม ABC = 180 – 65 = 115 องศา

ตอบ มุม ABC เท่ากับ 115 องศา

---

3. จากรูปส่วนของเส้นตรง AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม CD ตั้งฉากกับ AB และมุม BAC = 37 องศา จงหาขนาดของมุม BCD 

วิธีทำ   มุม ACB = 90 องศา   เป็นมุมในครึ่งวงกลม

มุม BAC = 37 องศา   กำหนดให้

มุม ACB + มุม BAC + มุม ABC = 180 องศา   (มุมภายในรูปสามเหลี่ยมเท่ากับ 180 องศา)

มุม ABC = 53 องศา     

มุม OCB + มุม BOC + มุม CBO = 180 องศา (มุมภายในรูปสามเหลี่ยมเท่ากับ 180 องศา)

มุม OCB = 37 องศา

มุม BCD = มุม OBC = 37 องศา

ดังนั้น มุม BCD = 37 องศา

---

แบบฝึกหัดเรื่อง วงกลม โจทย์  หาค่าตัวแปรภายในวงกลม

เฉลย  c = 20 องศา / d = 40 องศา

เฉลย  x = 12 องศา y = 12 องศา

เฉลย  a = 60 องศา / b = 50 องศา

4.เฉลย  g = 75 องศา / f = 75 องศา / e = 35 องศา

5.   เฉลย  h = 65 องศา

6.เฉลย  x = 60 องศา / y = 60 องศา

7.เฉลย x = 70 องศา / y = 70 องศา

8.เฉลย  i = 40 องศา / h = 60 องศา

9.   เฉลย g = 105 องศา / e = 105 องศา / f = 75 องศา

10.เฉลย  x = 102 องศา  / y = 12  องศา

   

---

คำถามที่พบบ่อย (FAQ)