ก่อนเราจะเข้าเรื่อง สูตรของเรขาคณิต น้องๆรู้กันรึยังว่า “เรขาคณิต” คืออะไร มันสำคัญอย่างไร แล้วทำไมเราต้องเรียน อธิบายง่ายๆว่า “เรขาคณิต” เป็นบทเรียนหนึ่งในวิชาคณิตศาสตร์ที่ทำการศึกษาขนาด รูปร่างและตำแหน่งของรูปทรงทั้งสองมิติและสามมิติ เรขาคณิตถูกใช้ในงานศิลปะ งานสถาปัตยกรรม งานวิศวกรรม รวมถึงในชีวิตประจำวันด้วย ตั้งแต่ตื่นนอนตอนเช้าจนเข้านอนในตอนกลางคืน เราสำรวจสิ่งต่างๆ รอบตัวเราในเชิงพื้นที่และใช้เหตุผลทางเรขาคณิตอยู่ตลอดเวลาโดยที่เราไม่รู้ตัว

เรขาคณิตเบื้องต้น ที่เราได้เรียนกันไปแล้วในระดับประถมศึกษา ตั้งแต่เรื่องจุด ระนาบ เส้นตรง ส่วนของเส้นตรง รังสี เส้นโค้งและมุม พี่ๆ AT HOME จะมาสรุปสั้นๆ ให้อ่านกันอีกทีก่อนจะเข้าเนื้อหาเรขาคณิตสองมิติและสามมิติต่อไปนะครับ

• จุด : เราใช้จุดแสดงตำแหน่งของสิ่งต่างๆ และเพื่อความเข้าใจตรงกัน เราสามารถตั้งชื่อจุดโดยใช้ตัวอักษรภาษาไทยหรือภาษาอังกฤษ

• ระนาบ : หมายถึงพื้นที่ผิวแบนและเรียบที่แผ่ขยายออกไปไม่สิ้นสุด ส่วนที่เราเห็นขอบเขตจะเป็นเพียง “ส่วนของระนาบ” เท่านั้น การกำหนดระนาบต้องใช้จุด อย่างน้อยสามจุดขึ้นไปโดยที่สามจุดนั้นต้องไม่อยู่ร่วมบนเส้นตรงเดียวกัน 

• เส้นตรง : เป็นเส้นตรงที่มีความยาวไม่สิ้นสุด

• ส่วนของเส้นตรง : เกิดจากการกำหนดจุดสองจุด แล้วลากเส้นตรงจากจุดหนึ่งไปอีกจุดหนึ่ง โดยจุดทั้งสองมีชื่อเรียกว่า “จุดปลาย” 

• รังสี : การลากเส้นตรงจากจุดๆหนึ่ง (สมมติให้ชื่อว่า A)  ต่อไปเรื่อยๆ เส้นที่เกิดขึ้นขึ้นเรียกว่า “รังสี” ถ้าเราลากเส้นตรงต่อไปเรื่อยผ่านจุด B เราจะเรียกรังสีนี้ว่า รังสี AB

• เส้นโค้ง : ถ้าเราลากเส้นบนกระดาษลักษณะใดก็ตาม เส้นที่เกิดขึ้นจะเรียกว่าเส้นโค้ง ซึ่งไม่จำเป็นต้องโค้งตามความหมายในภาษาไทยก็ได้ 

• มุม : เกิดจากรังสีสองเส้นที่มีจุดปลายเป็นจุดเดียวกัน เรียกจุดนั้นว่า “จุดยอดมุม” ส่วนรังสีแต่ละเส้นเรียกว่า​ “แขนของมุม” 

• เส้นขนาน : เส้นตรงสองเส้นบนระนาบเดียวกัน จะขนานกันต่อเมื่อสองเส้นนี้ไม่ตัดกัน

เรขาคณิตสองมิติ

“เรขาคณิต 2 มิติ” คือ รูปเรขาคณิตที่แสดงความกว้างและความยาวของรูป มีอยู่ด้วยกัน 4 ชนิด ได้แก่ 

1.รูปสี่เหลี่ยม : รูปปิดสองมิติที่มีสี่ด้าน สี่มุม และมุมภายในทั้งหมดรวมกันได้ 360 องศา

รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก : รูปสี่เหลี่ยมที่มีมุมทุกมุมเป็นฉาก มีด้านเท่ากันสองคู่ และด้านตรงข้ามกันขนานกัน

รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส : รูปสี่เหลี่ยมที่มีทุกมุมเป็นมุมฉากและด้านทั้งสี่ยาวเท่ากัน

รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า : รูปสี่เหลี่ยมที่ทุกมุมเป็นมุมฉาก ด้านตรงข้ามยาวเท่ากันและขนานกัน แต่ด้านที่อยู่ติดกันยาวไม่เท่ากัน

รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน : รูปสี่เหลี่ยมที่มีมุมไม่เป็นมุมฉาก มีด้านตรงข้ามยาวเท่ากันและขนานกันสองคู่ และมุมตรงข้ามยาวเท่ากัน

รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน : รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้านทั้งสี่ยาวเท่ากัน และทุกมุมไม่เป็นมุมฉาก

รูปสี่เหลี่ยมรูปว่าว : รูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านประชิดยาวเท่ากันสองคู่ มีเส้นทแยงมุมตัดกันเป็นมุมฉาก และมีมุมตรงข้ามมีขนาดเท่ากันหนึ่งคู่

รูปสี่เหลี่ยมคางหมู : รูปสี่เหลี่ยมที่ด้านขนานกันคู่เดียว

( รอใส่รูป 1 )

2. รูปสามเหลี่ยม : รูปปิดสองมิติที่มีสามด้าน สามมุม โดยมุมภายในรวมกันได้ 180 องศา แบ่งได้สองลักษณะ

คือ แบ่งตามลักษณะของด้าน และแบ่งตามลักษณะของมุม 

2.1 แบ่งตามลักษณะของด้าน  รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า : รูปสามเหลี่ยมที่มีด้านเท่ากันทั้งสามด้าน รูปสามเหลี่ยมด้านไม่เท่า : รูปสามเหลี่ยมที่มีสามด้านยาวไม่เท่ากันเลย รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว : รูปสามเหลี่ยมที่มีด้านเท่ากันสองด้าน

2.2 แบ่งตามลักษณะของมุม  รูปสามเหลี่ยมมุมแหลม : รูปสามเหลี่ยมที่มีมุมทุกมุมเป็นมุมแหลม (มุมที่มีขนาดมากกว่า 0 แต่น้อยกว่า 90 องศา) รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก : รูปสามเหลี่ยมที่มีมุมหนึ่งมุมเป็นมุมฉาก รูปสามเหลี่ยมมุมป้าน : รูปสามเหลี่ยมที่มีมุมหนึ่งมุมเป็นมุมป้าน (มุมที่น้อยกว่า 180 แต่มากกว่า 90 องศา)

( รอใส่รูป 2 )

3. รูปวงกลม : เป็นรูปปิดที่ไม่มีมุม วาดโดยการกำหนดจุดศูนย์กลางขึ้นมาหนึ่งจุด จากนั้นลากเส้นโค้งให้มีระยะห่างจากจุดนั้นเท่ากันโดยตลอด วาดวนไปรอบจุดศูนย์กลางจนกระทั่งกลับมายังจุดเริ่มต้น โดยมีส่วนประกอบดังต่อไปนี้ 

จุดศูนย์กลาง : จุดที่อยู่ตรงกลาง มีระยะห่างจากเส้นรอบวงเท่ากันโดยตลอด ในวงกลมหนึ่งวงจะมีจุดศูนย์กลางเพียงจุดเดียว

เส้นผ่านศูนย์กลาง :  ส่วนของเส้นตรงที่ลากจากเส้นรอบวงด้านหนึ่งไปยังอีกด้านหนึ่งโดยผ่านจุดศูนย์กลาง  โดยเส้นผ่านศูนย์กลางจะยาวเป็นสองเท่าของรัศมี

เส้นรอบวง : ส่วนของเส้นตรงที่ลากจากจุดศูนย์กลางไปยังเส้นรอบวง

รัศมี : ระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางและเส้นรอบวงของวงกลม

คอร์ด (chord) : ส่วนของเส้นตรงที่ลากจากเส้นรอบวงด้านหนึ่งไปยังอีกด้านหนึ่ง โดยจุดปลายของเส้นอยู่บนวงกลมเดียวกัน (คอร์ดที่ยากที่สุดของวงกลมคือเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมนั้น)

เซกเตอร์ (segter) : ส่วนของวงกลมที่เกิดจากรัศมีสองเส้นและเส้นรอบวง มีลักษณะเป็นสามเหลี่ยมฐานโค้ง (พื้นที่ในสามเหลี่ยมฐานโค้ง)

เซกเมนต์ (segment) : ส่วนของวงกลมที่เกิดจากคอร์ดและเส้นรอบวง (พื้นที่ระหว่างเส้นรอบรูปกับคอร์ด)

อาร์ค (arc) : ส่วนใดส่วนหนึ่งของเส้นรอบวง

( รอใส่รูป 3 )

4. รูปหลายเหลี่ยม : เป็นรูปปิดบนระนาบที่เกิดจากส่วนของเส้นตรงตั้งแต่สามเส้นขึ้นไป มีจำนวนด้านเท่ากับจำนวนมุม และส่วนของเส้นตรงที่ลากเชื่อมจุดยอดที่ไม่ใช่ปลายของส่วนของเส้นตรงเดียวกัน เราจะเรียกว่า “เส้นทแยงมุม” ตัวอย่างของรูปหลายเหลี่ยม ได้แก่ รูปสามเหลี่ยม รูปสี่เหลี่ยม รูปเจ็ดเหลี่ยม ฯลฯ

( รอใส่รูป 4 )

สูตรคำนวณเรขาคณิตสองมิติ

สำหรับรูป เรขาคณิตสองมิติ น้องๆจะได้รู้จักสูตรในการคำนวณหาพื้นที่และความยาวเส้นรอบรูปของรูปเรขาคณิตสองมิติแบบต่างๆ ซึ่งมีสูตรดังต่อไปนี้

สูตรรูปสามเหลี่ยม 

การหาพื้นที่รูปสามเหลี่ยม เราจะต้องดูรูปให้ออกและทำความเข้าใจว่าส่วนใด คือ ด้าน ความสูงหรือฐาน 

( รอใส่รูป 5 )

สูตรรูปสี่เหลี่ยม 

สิ่งที่ต้องระวังในการหาพื้นที่ของรูปสองมิติต่างๆ คือ ต้องทำความเข้าใจความหมายของคำต่างๆให้ดี
เช่น เส้นทแยงมุม ความสูง เส้นกิ่ง เพื่อให้มั่นใจว่าน้องๆนำตัวเลขที่ถูกต้องมาคำนวณ

สูตรรูปวงกลม 

สำหรับการหาพื้นที่และความยาวรอบรูปวงกลมจะมีสัญลักษณ์ “” อ่านว่า “pi” ซึ่งเป็นค่าคงที่ค่าหนึ่ง ซึ่งมาจากอัตราส่วนของความยาวของเส้นรอบวงต่อความยาวของเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม โชคดีที่เราไม่ต้องไปหาเองว่าคือเท่าไหร่ เพราะมีการคำนวณไว้แล้วว่ามีค่าประมาณ 3.14 หรือ 22/7 เราสามารถแทนค่านี้ลงไปได้เลย

( รอใส่รูป 7 )

สูตรรูปหลายเหลี่ยม

ในการหาพื้นที่รูปหลายเหลี่ยม บางครั้งน้องๆจะต้องประยุกต์ใช้สูตรรูปสามเหลี่ยมและสี่เหลี่ยมมาใช้ในการคำนวณ 

เรขาคณิตสามมิติ

“เรขาคณิตสามมิติ” หรือเรียกอีกอย่างว่า “รูปทรง” หมายถึงรูปที่มีลักษณะเป็นสามมิติ คือ มีทั้งความกว้าง ความยาว และความลึกหรือความหนา นูนด้วย ให้ความรู้สึกถึงความหนาแน่นและปริมาตร รูปทรงเรขาคณิตสามมิติมีหลายแบบ 

1.ปริซึม : เป็นเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานทั้งสองเป็นรูปเหลี่ยมที่มีความเท่ากันทุกประการ โดยฐานทั้งสองอยู่บนระนาบที่ขนานกัน และด้านข้างแต่ละด้านจะเห็นเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน การเรียกชื่อปริซึมจะเรียกตามลักษณะของรูปหลายเหลี่ยมที่ปรากฎบนหน้าตัดของปริซึม เช่น ปริซึมสามเหลี่ยม ปริซึมสี่เหลี่ยม ปริซึมห้าเหลี่ยม เป็นต้น 

( รอใส่รูป 8 )

ปริซึมสี่เหลี่ยมหรือรูปทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก ที่มีหน้าทุกหน้าเป็นรูปสี่เหลี่ยมจตุรัส
เราจะเรียกมันว่า “ลูกบาศก์”

( รอใส่รูป 9 )

2. ทรงกระบอก : เป็นรูปทรงเรขาคณิตสามมิติที่มีหน้าตัดหรือฐานทั้งสองเป็นรูปวงกลมที่เท่ากันทุกประการ และอยู่บนระนาบที่ขนานกัน มีสองแบบ คือ ทรงกระบอกตรงและทรงกระบอกเอียง

3. พีระมิด : รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานด้านหนึ่งเป็นรูปหลายเหลี่ยม อีกด้านหนึ่งเป็นยอดแหลมซึ่งอยู่คนละระนาบกับฐาน และมีหน้าด้านข้างเป็นรูปสามเหลี่ยม การเรียกชื่อพีระมิดนั้นจะเรียกตามลักษณะของรูปหลายเหลี่ยมตรงส่วนฐาน เช่น พีระมิดฐานสี่เหลี่ยม จะหมายถึง พีระมิดที่มีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยม 

4. กรวย : เป็นรูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานเป็นวงกลมและมียอดแหลมที่ไม่อยู่ในระนาบเดียวกันกับฐาน 

5. ทรงกลม : เป็นรูปเรขาคณิตสามมิติที่มีผิวโค้งเรียบ และทุกๆจุดบนผิวโค้งอยู่ห่าง
จากจุดศูนย์กลางเท่ากัน 

สูตรคำนวณเรขาคณิตสามมิติ

สูตรคำนวณเรขาคณิตสามมิติ มีพื้นฐานมาจากสูตรเรขาคณิตสองมิติ ซึ่งถ้าน้องๆเข้าใจมา
แล้วก็สามารถนำมาต่อยอดได้เลย 

สูตรรูปทรงปริซึม

สูตรลูกบาศก์

สูตรรูปทรงกระบอกตัน

สูตรรูปทรงพีระมิด

สูตรรูปทรงกรวย

สูตรรูปทรงกลม

สูตรรูปทรงกระบอกที่มีหน้าตัดรูปวงแหวน (รูปทรงกระบอกกรวย) 

น้องๆจะเห็นว่าการเรียนเรื่อง “เรขาคณิต” จะเน้นไปที่การหาความยาวรอบรูป การหาพื้นที่และปริมาตรของรูปสองมิติและรูปทรงสามมิติเป็นหลัก การจะทำข้อสอบเรื่องนี้ได้จึงไม่ใช่แค่การท่องสูตรเท่านั้น แต่น้องๆต้องสามารถประยุกต์ใช้สูตรให้เป็น บางครั้งต้องอาศัยจินตนการและประสบการณ์ในการมองภาพรูปภาพและรูปทรงแบบต่างๆ ดังนั้นสิ่งสำคัญที่สุด คือ ต้องหัดทำโจทย์ที่หลากหลาย เพื่อเรียนรู้วิธีการแก้โจทย์ที่พลิกแพลง ใครที่ยังไม่เรียนแล้วไม่ค่อยเข้าใจ มองภาพไม่ออก ถามเพื่อนก็ตอบไม่ได้ พี่ๆ AT HOME มีคอร์สเรียนเรขาคณิตมากมายให้น้องๆได้เข้ามาเรียน ไม่ว่าจะเป็นคอร์สทฤษฎีบท คอร์สปูพื้นเนื้อหาเรขาคณิต ไปจนถึงคอร์สตะลุยโจทย์พร้อมเฉลย ส่วนใครที่เก่งแล้วจะไปลองเรียนคอร์สของพี่ๆม.ปลายในบทเรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวยเพื่อเตรียมความพร้อมก่อนเพื่อนก็ได้ 

ตัวอย่างข้อสอบเรขาคณิตพร้อมเฉลย

ภาพที่ได้จากการมองภาพด้านบนของรูปเรขาคณิตสามมิติที่กำหนดให้นี้เป็นแบบใด

ตอบ ภาพที่ได้จากการมองภาพด้านบน จะเป็นภาพสองมิติดังรูป 

---

สี่เหลี่ยมรูปว่าวรูปหนึ่งเกิดจากการนำสามเหลี่ยมสองรูปมาประกบกันตามแนวขวาง ถ้าพื้นที่สี่เหลี่ยมรูปว่าวคือ 45 ตารางเซนติเมตร เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมรูปว่าวที่สั้นกว่ายาว 6 เซนติเมตร ความสูงของสามเหลี่ยมทั้งสองต่างกัน 9 เซนติเมตร พื้นที่ของสามเหลี่ยมทั้งสองต่างกันเท่าไหร่

ตอบ 27 เซนติเมตร 

---

วงกลมรูปหนึ่งมีเส้นรอบวงยาวกว่าเส้นผ่านศูนย์กลาง 1.5 เมตร พื้นที่วงกลมวงนั้นเท่ากับกี่ตารางเซนติเมตร

ตอบ 3,850 ตารางเซนติเมตร

---