เชื่อว่าทุกคนคงจะคุ้นเคยกับคำว่า “พีทาโกรัส” มาบ้างไม่มากก็น้อย แต่ทราบมั้ยว่าพีทาโกรัสคืออะไร มีความสำคัญอย่างไรต่อวิชาคณิตศาสตร์ จริงๆแล้ว พีทาโกรัสคือ ชื่อของนักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงในประวัติศาสตร์ นอกจากทฤษฎีบทพีทาโกรัสเองที่เรารู้จักกันดี เขายังเป็นผู้คิดค้นทฤษฎีเรขาคณิต รวมถึงเป็นคนที่พบว่า ผลบวกมุมภายในของสามเหลี่ยมใดๆ เท่ากับ 180 องศาอีกด้วยนะ
ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
ทฤษฎีบทพีทาโกรัส คือ ทฤษฎีที่ว่าด้วยความสัมพันธ์ระหว่างด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
ซึ่งมีนิยามว่า
“ในสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก เท่ากับผลรวมพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านเป็นด้านประชิดมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากนั้น”
อธิบายจากนิยามง่ายๆ ก็คือ กำลังสองของด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมฉากจะเท่ากับผลรวมของกำลังสองของอีกสองด้านที่เหลือนั่นเอง ลองมาดูภาพตัวอย่างกัน
( ใส่รูป 1 )
กำหนดให้
a แทน ความยาวตรงข้ามมุม A
b แทน ความยาวตรงข้ามมุม B
c แทน ความยาวตรงข้ามมุม C
ด้าน AB เรียกว่า ด้านตรงข้ามมุมฉาก
ด้าน AC และ BC เรียกว่า ด้านประชิดมุมฉาก
จากภาพจะเห็นว่า พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านเดียวกับด้าน c จะเท่ากับพื้นที่สี่เหลี่ยมจตุรัสของด้าน b และ ด้าน a มารวมกัน สูตรของพื้นที่สี่เหลี่ยมจตุรัสก็คือ (ด้าน)2 เพราะฉะนั้น เราจึงเขียนเป็นสมการได้ว่า
| c2 = a2 + b2 |
เป็น สมการของทฤษฎีพีทาโกรัส ที่น้องๆ ต้องจำให้ขึ้นใจ เพราะเราต้องใช้สมการนี้ในการแก้โจทย์ปัญหาทางคณิตศาสตร์อยู่บ่อยๆ แถมยังเป็นพื้นฐานของตรีโกณมิติอีกด้วย
ตัวอย่างการใช้สมการพีทาโกรัส
น้องๆต้องจำไว้ว่าสมการพีทาโกรัส c2 = a2 + b2 นั้นใช้สำหรับแก้โจทย์ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับความสัมพันธ์ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น ไม่สามารถใช้สูตรนี้กับสามเหลี่ยมอื่นๆได้
ตัวอย่าง
( ใส่รูป 2 )
จากรูป ถ้าด้าน a มีความยาวเท่ากับ 3 หน่วย ด้าน b มีความยาวเท่ากับ 4 หน่วย ด้าน c มีความยาวเท่าไหร่
( ใส่รูป 3 )
เลขชุดพีทาโกรัส
“เลขชุดพีทาโกรัส” คือ ชุดตัวเลขที่ทำให้เราสามารถหาความยาวของด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมมุมฉากตาม
ทฤษฎีบทพีทาโกรัส (c2 = a2 + b2) ได้อย่างรวดเร็ว ถ้าเราทราบความยาวของด้านอย่างน้อยสองด้าน เราจะหาความยาวของด้านที่สามได้ทันที แต่มีข้อแม้ว่า ด้าน a และ b จะต้องเป็นด้านประชิดมุมฉากด้านใดก็ได้ ส่วน c จะเป็นด้านตรงข้ามมุมฉากหรือด้านที่ยาวที่สุดเท่านั้น
ยกตัวอย่างเช่น
| ถ้าเราทราบว่า a = 4, b = 3 เราจะสามารถบอกได้ทันทีว่า c = 5 ซึ่งเลข 3,4 และ 5 ถือเป็นหนึ่งในเลขชุดของพีทาโกรัสด้วย และยังมีเลขชุดอื่นๆ ที่น้องๆควรจำให้ได้ |
( ใส่รูป 4 )
จากตาราง หากเราทราบว่า a = 15, c = 17 เราก็บอกได้ทันทีว่า b จะเท่ากับ 8 โดยไม่ต้องคำนวณเลย
บทกลับทฤษฎีพีทาโกรัส
บทกลับของทฤษฎีพีทาโกรัส กล่าวว่า “ในรูปสามเหลี่ยมใดๆ ถ้าพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านที่ยาวที่สุด เท่ากับผลบวกของพื้นที่รูป สี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านอีกสองด้านแล้ว รูปสามเหลี่ยมน้ัน ย่อมเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากมีด้านยาวที่สุด เป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก”
น้องๆสังเกตมั้ยคะว่าบทกลับของทฤษฎีพีทาโกรัสก็คือการสลับเหตุและผลจากทฤษฎีพีทาโกรัสเดิม จากเหตุกลายมาเป็นผล จากผลกลายมาเป็นเหตุ เราจึงเรียกมันเป็นบทกลับของทฤษฎีพีทาโกรัสนั่นเอง
และจากบทกลับของทฤษฎีพีทาโกรัสนี้ ทำให้เราหาได้ว่ารูปสามเหลี่ยมใดๆ เป็นสามเหลี่ยมมุมแหลม มุมป้านหรือสามเหลี่ยมมุมฉาก เมื่อเรากำหนดให้ c เป็นความยาวของด้านที่ยาวที่สุดในรูปสามเหลี่ยม จะได้ว่า
- c² = a² + b² สามเหลี่ยมที่ได้จะเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก
- c² > a² + b² สามเหลี่ยมที่ได้จะเป็นสามเหลี่ยมมุมป้าน
- c² < a² + b² สามเหลี่ยมที่ได้จะเป็นสามเหลี่ยมมุมแหลม
ตัวอย่าง
กำหนดความยาวของด้านสามด้าน ได้แก่ด้าน a = 4, b = 5 และ c = 6 นำทั้งสามด้านมาสร้างเป็นรูปสามเหลี่ยม จะได้รูปสามเหลี่ยมอะไร
c2 = 6 x 6 = 36
a² + b² = (4 x 4) + (5 x 5) = 16 + 25 = 41
เพราะฉะนั้น c² < a² + b²
ดังนั้น
รูปสามเหลี่ยมที่ได้จึงเป็นสามเหลี่ยมมุมแหลม
เป็นอย่างไรกันบ้างคะ สำหรับทฤษฎีบทพีทาโกรัส ถึงชื่อเรียกยาก แต่เข้าใจง่ายมากใช่มั้ยคะ แต่ถ้าใครอยากจะเข้าใจพีทาโกรัสกันให้ลึกซึ้งมากขึ้นไปอีก พี่ๆ AT HOME มีคอร์สติวเข้มเรื่องทฤษฎีบทพีทาโกรัส รับรองว่าเรียนจบรู้ทุกอย่าง เข้าใจทุกเรื่องเกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัสแน่นอน
คำถามที่พบบ่อย (FAQ)
ทฤษฎีบทพีทาโกรัส เกี่ยวข้องกับรูปสามเหลี่ยมใด
ทฤษฎีบทพีทาโกรัส เป็นทฤษฎีที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งอธิบายได้ว่า “ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ กำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก เท่ากับผลบวกของกำลังสองของความยาวของด้านประกอบมุมฉาก” สามารถสรุปออกมาเป็นสูตรคือ c² = a² + b² และย้ำว่าสูตรนี้สามารถใช้หาความยาวด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น ไม่สามารถหาความยาวของสามเหลี่ยมอื่นๆได้
และจากบทกลับทฤษฎีพีทาโกรัสที่อธิบายว่า “ในรูปสามเหลี่ยมใดๆ ถ้าพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านที่ยาวที่สุด เท่ากับผลบวกของพื้นที่รูป สี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านอีกสองด้านแล้ว รูปสามเหลี่ยมน้ัน ย่อมเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากมีด้านยาวที่สุด เป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก” ทำให้เราสามารถพิสูจน์ได้ว่าสามเหลี่ยมที่สร้างจากด้านที่กำหนดให้นั้นเป็นสามเหลี่ยมมุมแหลม สามเหลี่ยมมุมป้านหรือสามเหลี่ยมมุมฉาก
