ลำดับและอนุกรม เป็นเนื้อหาคณิตศาสตร์ที่น้อง ๆ หลายคนเคยได้เรียนมาแล้วในชั้นประถมศึกษา ไปจนถึงโจทย์แข่งขันระดับม.ต้น และเราก็ได้มาเรียนแบบจริงจังอีกทีตอน ม.ปลาย ซึ่งพี่ ๆ ATHOME ขอบอกเลยว่าเนื้อหาบทนี้สำคัญมากเลยนะคะ เพราะเป็นหนึ่งในบทเรียนที่ออกสอบมากที่สุดบทหนึ่งเลยในสนามแข่งขันและสนามสอบเข้ามหาวิทยาลัยต่าง ๆ อีกทั้งยังเป็นบทที่สามารถนำไปประยุกต์ได้กับอีกหลายบท ไม่ว่าจะเป็น สถิติ, เมทริกซ์, จำนวนจริง ถ้าน้องคนไหนยังเรียนในห้องไม่เข้าใจก็ขอให้พี่ ๆ ได้มีส่วนช่วยน้อง ๆ เองนะคะ
อนุกรม คือ อะไร
ลําดับและอนุกรม สรุป
อนุกรม ผลจากการบวกสมาชิกทุกตัวของลำดับไม่จำกัดเข้าด้วยกัน หากกำหนดให้ลำดับของจำนวนเป็น
อนุกรมของลำดับนี้ก็คือ อนุกรมสามารถเขียนแทนได้ด้วย
สัญลักษณ์ของผลรวม ∑ (ซิกม่า)
ลำดับ คือ อะไร
ลำดับ คือ ฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก n ตัวแรกหรือเซตของจำนวนเต็มบวก
เรียกลำดับที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก n ตัวแรกว่า ลำดับจำกัดและเรียกลำดับที่มีโดเมนของจำนวนเต็มบวกว่า ลำดับอนันต์
ลําดับและอนุกรม มีอะไรบ้าง
- ลำดับจำกัด
- ลำดับอนันต์
- ลำดับเลขคณิต
- ลำดับเรขาคณิต
- ลำดับพหุนาม
- ลำดับหลายชั้น
- ลำดับเว้นระยะ
- ลำดับแบบมีค่าแตกต่างกันเป็นชุด
- ลำดับกำลัง
- ความสัมพันธ์เวียนเกิด
ลำดับจำกัด คือ
ลำดับจำกัด คือ ลำดับซึ่งมีจำนวนพจน์จำกัด โดยฟังก์ชันจะเป็นลำดับที่มีโดเมนเป็น { 1, 2, 3, …, n } สามารถบอกได้ว่าลำดับนั้นมีพจน์ทั้งหมดกี่พจน์ได้อย่างแน่นอน
ตัวอย่างเช่น 2, 4, 6, 8, … , 36 (สามารถบอกจำนวนพจน์ได้แน่นอน)
ลำดับอนันต์ คือ
ลำดับอนันต์ คือ ลำดับซึ่งมีจำนวนพจน์ไม่จำกัด โดยฟังก์ชันเป็นลำดับที่มีโดเมนเป็น { 1, 2, 3, … } ไม่สามารถบอกได้อย่างแน่ชัดว่าลำดับนั้นมีจำนวนพจน์กี่พจน์
ตัวอย่างเช่น 2, 4, 6, 8 , ….
(ไม่สามารถบอกจำนวนพจน์ได้แน่นอน)
ลำดับเลขคณิต คือ
ลำดับเลขคณิต (Arithmetic Sequence) คือ ลำดับของตัวเลขที่ผลต่างซึ่งได้จากพจน์สองพจน์ที่อยู่ติดกัน มีค่าคงตัวเป็นค่าเดียวกัน โดยเราเรียกค่าคงตัวนั้นว่า ผลต่างร่วม (Common Difference) เขียนแทนด้วย d
ตัวอย่างเช่น -2 , -4, -6, … , -8
ซึ่งมีผลต่างร่วม d = -2
ลำดับเรขาคณิต คือ
ลำดับเรขาคณิต คือ ลำดับของจำนวนซึ่งอัตราส่วนของสมาชิกสองตัวที่อยู่ติดกันในลำดับเป็นค่าคงตัวที่ไม่เป็นศูนย์ ซึ่งอัตราส่วนนั้นเรียกว่า อัตราส่วนร่วม (common ratio)
ตัวอย่างเช่น ลำดับ 2, 6, 18, 54
มีอัตราส่วนร่วม คือ r = 3 เป็นต้น
ลำดับพหุนาม คือ
ลำดับพหุนาม คือ ลำดับที่สามารถเขียนพจนทั่วไปได้เป็นฟังก์ชันพหุนาม
ตัวอย่าง
พิจารณาลำดับ
ลำดับหลายชั้น คือ
ลำดับหลายชั้น คือ ลำดับเลขอนุกรม ที่ผลต่างของเลขจะมีลักษณะเป็นเลขอนุกรมด้วย
ตัวอย่างเช่น
จากตัวอย่างน้อง ๆ จะเห็นว่าถ้าเราลองหาความสัมพันธ์ของลำดับชั้นแรก จะยังไม่เห็นว่ามีผลต่างร่วมกัน แต่เมื่อมองผลต่างนั้นจะเห็นว่าผลต่างกลายเป็นลำดับเลขคณิตนั่นเอง การต้องมองหาความสัมพันธ์มากกว่าชั้นเดียว จึงเป็นที่มาของชื่อ ลำดับหลายชั้น นั่นเอง
ลำดับเว้นระยะ คือ
ลำดับเว้นระยะ คือ ลำดับเลขอนุกรม ซึ่งประกอบด้วยอนุกรมมากกว่า 1 ซ้อนกันอยู่ภายในโจทย์เดียวกัน
ตัวอย่างเช่น
จากตัวอย่างเราจะเห็นว่าไม่เพียงแค่พจน์ที่อยู่ติดกันจะมีความสัมพันธ์กันเท่านั้น เพราะพจน์ที่ห่างกันไปอีก 2 พจน์ก็สามารถมีความสัมพันธ์ในเชิงลำดับได้เช่นกัน นี่จึงเป็นที่มาของชื่อ ลำดับเว้นระยะ ที่มีการเว้นไปของตัวเลขนั่นเอง
ลำดับแบบมีค่าแตกต่างกันเป็นชุด คือ
ลำดับแบบมีค่าแตกต่างกันเป็นชุด คือ ลำดับอนุกรมที่เกิดจากค่าความแตกต่างที่เป็นชุด คือหลายตัวประกอบขึ้นมา และใช้ค่าต่างกันนั้นเป็นชุดดังกล่าวในการพิจารณาเลขอนุกรมลำดับถัดไป
ตัวอย่างเช่น
จากตัวอย่างจะเห็นว่า ลำดับนั้นมีทั้ง ผลต่างร่วม และ อัตราส่วนร่วม ที่เท่ากัน สลับกันไป ทำให้เรารู้ได้ว่าตัวต่อไปต้องเป็นผลต่างร่วมหรืออัตราส่วนร่วมค่าเท่าไร และจะทำให้รู้ด้วยว่าตัวเลขตัวต่อไปจะเป็นอะไร
ลำดับยกกำลัง คือ
ลำดับยกกำลัง คือ ลำดับเลขอนุกรม ที่เกิดจากการยกกำลังของตัวเลขต่าง หรือ อาจเกิดจากค่าความแตกต่างที่เป็นเลขยกกำลังก็ได้
ตัวอย่างเช่น
(ลำดับที่เกิดจากการยกกำลังของตัวเลข)
(ลำดับที่เกิดจากค่าความแตกต่างที่เป็นเลขยกกำลัง)
ความสัมพันธ์เวียนเกิด คือ
สมการที่แสดงความสัมพันธ์ของพจน์ an กับพจน์ก่อนหน้า
เพื่อความเข้าใจเพิ่มขึ้น เรามาดูตัวอย่างกันนะคะ
กำหนดให้ an = 2an-1 – an-2 เมื่อ n มากกว่าหรือเท่ากับ 2 , a0 = 4 , a1 = 1 จงหา a6
วิธีทำ a2 = 2a1 – a0 = -2
a3 = 2a2 – a1 = -5
a4 = 2a3 – a2 = -8
a5 = 2a4 – a3 = -11
ดังนั้น a6 = 2a5 – a4 = -14
ลําดับและอนุกรม สูตร ทั้งหมดที่ควรรู้
แบบฝึกหัด ลําดับและอนุกรม พร้อมเฉลย
- บริษัทนำเที่ยวแห่งหนึ่งซื้อรถมินิบัส รำคำ 2,000,000 บำท เพื่อใช้ในกิจกำรนำเที่ยว ถ้ำในแต่ละปีมูลค่ำของรถมินิบัสลดลงด้วยอัตราคงที่ ดังตาราง
แล้วมูลค่าของรถมินิบัสจะเหลือน้อยกว่า 500,000 บาท เมื่อเวลาผ่านไปอย่างน้อยที่สุดกี่ปี
[O-NET (ก.พ. 2565/11)]
วิธีทำ จะเห็นว่ามูลค่าลดลงปีละ 120,000 บำท เท่ากันทุกปี
ดังนั้น มูลค่า จะเป็นล ำดับเลขคณิต ที่มี 𝑎1 = 1,880,000
และ 𝑑 = −120,000
จากสูตร an = a1 + (n-1) d
จะได้มูลค่าเมื่อผ่านไป 𝑛 ปี คือ 1,880,000 + (𝑛 − 1)(−120,000)
ดังนั้น มูลค่าน้อยกว่า 500,000 บาท
เมื่อ 1,880,000 + (𝑛 − 1)(−120,000) < 500,000
1,380,000 < (𝑛 − 1)(120,000)
11.5 < 𝑛 − 1
12.5 < n
แต่จำนวนปี ต้องเป็นจำนวนเต็ม → จะได้ 𝑛 มีค่าอย่างน้อย 13 ปี
- จากตารางที่กำหนดให้
จำนวนนับในแต่ละแถว เป็นลำดับเลขคณิต ซึ่งมีผลต่างร่วมเท่ากับ 3 และ จำนวนนับในแต่ละหลักเป็น ลำดับเลขคณิตซึ่งมีผลต่างร่วมเท่ากับ 5 ถ้า 𝑚 เป็นจำนวนนับ ซึ่งอยู่ในแถวที่ 25 และหลักที่ 25 แล้ว 𝑚 มีค่าเท่ากับเท่าไร
วิธีทำ
ตัวสุดท้ายของแถวแรก คือ พจน์ที่ 25 ของลำดับเลขคณิต 2 , 5 , 8 , 11 , … ที่มี 𝑎1 = 2 และ 𝑑 = 3
ใช้สูตรอนุกรมเลขคณิต 𝑎n = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑 โดยแทน 𝑛 = 25 จะได้ 𝑎25 = 2 + (25 − 1)3 = 74
ดังนั้น หลักขวาสุด จะเป็นลำดับเลขคณิตที่มี 𝑎1 = 74 และมี 𝑚 เป็นพจน์ที่ 25 โดยโจทย์กำหนดให้ทุกหลักมี 𝑑 = 5
ใช้สูตร 𝑎n = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑 ในลำดับหลักขวาสุด จะได้ 𝑚 = 𝑎25 = 74 + (25 − 1)5 = 194
คำถามที่พบบ่อย (FAQ)
ลําดับและอนุกรม คือ
ตอบ ลำดับคือพจน์ของตัวเลขต่าง ๆ ที่เรียงกันโดยอาจมีความต่างร่วมเรียกว่า ลำดับเลขคณิต แต่ถ้ามีอัตราส่วนร่วม เรียกว่า ลำดับเรขาคณิต
อนุกรม คือ ผลบวกของลำดับเรขาคณิต หรือ ลำดับเลขคณิต
ผลต่างร่วม กับ อัตราส่วนร่วมต่างกันยังไง
ผลต่างร่วมคือการเอาพจน์หน้ากับพจน์หลังลบกันแล้วได้ค่าที่เท่ากันในทุกพจน์ที่อยู่ถัดกัน จะพบในลำดับเลขคณิต อัตราส่วนร่วมคือการนำพจน์ท้ายหารด้วยพจน์ก่อนหน้า มีค่าเท่ากันในทุกพจน์ที่อยู่ถัดกัน จะพบในลำดับเรขาคณิต
เนื้อหาคณิตศาสตร์เรื่องลำดับและอนุกรมของระดับชั้นม.ปลาย หลัก ๆ น้อง ๆ ก็จะได้เรียนเกี่ยวกับลำดับเลขคณิตและลำดับเรขาคณิตเป็นหลัก แต่ในสนามสอบแข่งขันต่าง ๆ ไม่ว่าจะเป็น ความถนัดคณิตศาสตร์ หรือข้อสอบกสพท. พาร์ทเชาว์นั้นก็สามารถออกลำดับแบบอื่น ๆ เพิ่มเติม ตามที่พี่ ๆ ATHOME ได้กล่าวไว้ข้างต้น ในช่วงแรกน้อง ๆ หลายคนอาจรู้สึกว่าเรื่องนี้ค่อนข้างซับซ้อนพอสมควร ต้องอาศัยประสบการณ์การทำโจทย์ค่อนข้างมากก็อย่าเพิ่งท้อไปน้า มาฝึกทำข้อสอบพร้อมพี่ ๆ ติวเตอร์ชั้นนำที่ ATHOME อย่างสม่ำเสมอ รับรองว่าได้คะแนนดีขึ้นแน่นอน
