สรุปสูตรพื้นที่ผิว-ปริมาตร รูป ทรง เรขาคณิตสามมิติแบบเข้าใจง่ายอ่านแล้วจำดี พร้อมตะลุยโจทย์

 บทเรียนเรื่องรูปทรงเรขาคณิตนั้นเป็นเนื้อหาคณิตที่หลายคนอาจจะรู้สึกว่ายากเนื่องจากมีสูตรค่อนข้างเยอะ แต่ความจริงแล้วสูตรต่าง ๆ นั้นมีความเกี่ยวเนื่องกับส่วนประกอบบนรูปทรงนั้น ๆ หากเราทำโจทย์บ่อย ๆ จะช่วยให้จำได้ดีขึ้น วันนี้พี่ได้รวบรวมสูตรทั้งการหาพื้นที่และปริมาตรของหลากหลายรูปทรง หวังว่าจะเป็นประโยชน์สำหรับน้อง ๆ ที่อยากศึกษาเรื่องนี้นะคะ

รูปทรงเรขาคณิต มีอะไรบ้าง?

รูปสามเหลี่ยม (Triangle) ลักษณะ  รูปหลายเหลี่ยมมี 3 มุม หรือ 3 จุดยอด และมี 3 ด้านที่มาจากส่วนของเส้นตรง

รูปห้าเหลี่ยม (Pentagon) ลักษณะ  รูปหลายเหลี่ยมที่มีด้าน 5 ด้าน รูปห้าเหลี่ยมปกติ คือ รูปห้าเหลี่ยมที่มีด้านทุกด้านยาวเท่ากันหมดทุกด้าน และมุมภายในมีขนาดเท่ากัน (มุมภายในเท่ากับ 540 องศา)

รูปหกเหลี่ยม (Hexagon) ลักษณะ รูปหลายเหลี่ยมที่มีด้าน 6 ด้านและมีจุดยอด 6 จุด รูปหกเหลี่ยมปกติ คือ รูปหกเหลี่ยมที่มีด้านทุกด้านยาวเท่ากันหมดทุกด้าน และมีมุมเท่ากันทุกมุมคือ 120 องศา

รูปแปดเหลี่ยม (Octagon) ลักษณะ รูปหลายเหลี่ยมที่มีด้าน 8 ด้านและมีจุดยอด 8 จุด รูปแปดเหลี่ยมปกติ คือ รูปแปดเหลี่ยมที่มีด้านทุกด้านยาวเท่ากันหมดทุกด้านและมีมุมเท่ากันทุกมุมคือ 135 องศา

รูปวงกลม (Circle) ลักษณะ รูปวงกลมคือรูปวงรีกรณีพิเศษที่มีโฟกัสอยู่บนจุดเดียวกันนั่นคือจุดศูนย์กลาง นอกจากนี้รูปวงกลมยังเป็นภาคตัดกรวยที่เกิดจากการตัดด้วยระนาบที่ตัดตั้งฉากกับแกนของทรงกรวย

รูปวงรี (Ellipse)  ลักษณะ วงรีเป็นภาคตัดกรวย นั่นคือ รูปเรขาคณิตที่เกิดจากการตัดกันของทรงกรวยกับระนาบ (ดูภาพขวา) และยังเป็นภาคตัดของทรงกระบอก ยกเว้นเฉพาะกรณีที่ระนาบตัดขนานกับแกนทรงกระบอก

รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก (Rectangle) ลักษณะ  รูปหลายเหลี่ยมที่มีด้าน 4 ด้าน มุม 4 มุม ซึ่งมุมภายในรวมได้ 360 องศา ในแต่ละมุมมีขนาดเท่ากับ 90 องศา เทียบเท่ากับเงื่อนไขที่ว่าเส้นทแยงมุมแบ่งครึ่งซึ่งกันและกัน ซึ่งรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก รวมไปถึง สี่เหลี่ยมแบบจตุรัส และสี่เหลี่ยมผืนผ้าด้วย

รูปทรงกระบอก (Cylinder) ลักษณะ รูปเรขาคณิตที่มีฐานเป็นรูปวงกลมที่มีขนาดเท่ากันทุกประการ อยู่ตรงข้ามกันในระนาบที่ขนานกัน เมื่อตัดรูปทรงกระบอกแบบขนานแล้วจะได้รูปวงกลมที่เท่ากันทุกประการ

บทนิยามของรูปเรขาคณิตพื้นฐาน

1. ปริซึม คือ รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานทั้งสองเป็นรูปสี่เหลี่ยมที่ เท่ากันทุกประการ ฐานทั้งสองอยู่คนละระนาบที่ขนานกัน และด้านข้างแต่ละด้านเป็นรูป สี่เหลี่ยมด้านขนาน
   
2. ทรงกระบอก คือ รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานทั้งสองเป็นรูปวงกลมที่เท่ากันทุกประการ และอยู่บนระนาบที่ขนานกัน และเมื่อตัดรูปเรขาคณิคสามมิติด้วยระนาบที่ขนานกับฐานแล้ว จะได้หน้าตัดเป็นวงกลมที่เท่ากันกับฐานเสมอ
   
3. พีระมิด คือ รูปเรขาคณิตที่มีฐานเป็นรูปเหลี่ยมใด ๆ แต่มียอดแหลมที่ไม่อยู่บนระนาบเดียวกันกับฐาน และหน้าทุกหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วมกันที่ยอดแหลมนั้น
   
4. กรวย คือ รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานเป็นวงกลม แต่มียอดแหลมที่ไม่อยู่บนระนาบเดียวกันกับฐาน และเส้นที่ต่ออยู่กับจุดยอดและจุดใด ๆ บนขอบของฐานเป็นส่วนของเส้นตรง
   
5. ทรงกลม คือ รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีผิวโค้งเรียบ และจุดทุกจุดบนผิวโค้งอยู่ห่างจากจุดคงที่จุดหนึ่งในระยะทางเท่ากัน จุดคงที่นั้นเรียกว่า จุดศูนย์กลางของทรงกลม ระยะที่เท่ากัน เรียกว่า รัศมีทรงกลม

การหาพื้นที่รูปสามเหลี่ยม

การหาพื้นที่รูปห้าเหลี่ยม

สูตรหาพื้นที่รูปห้าเหลี่ยม  = 1.72 x (ด้าน)²

* หากน้อง ๆ ไม่อยากจำสูตรสามารถแบ่งรูปห้าเหลี่ยมเป็นรูปสามเหลี่ยมย่อย
แล้วหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมนั้นแทนได้เช่นกัน*

การหาพื้นที่รูปหกเหลี่ยม

การหาพื้นที่รูปแปดเหลี่ยม

สูตรหาพื้นที่รูปแปดเหลี่ยม =   4.828 × (ด้าน)²

การหาพื้นที่รูปวงกลม

การหาพื้นที่รูปวงรี

การหาปริมาตรรูปทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก

หาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม

1. พื้นที่สี่เหลี่ยมจตุรัส = ด้าน x  ด้าน  หรือ  ½   x  (เส้นทแยงมุม)²
2. พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า  =  ก  x  ย
3. พื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนาน  =  ฐาน  x  สูง
4.  พื้นที่สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน  =  ฐาน  x  สูง  หรือ  ½  x  ผลคูณของเส้นทแยงมุม
5. พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู  =  ½  x  ผลบวกของด้านคู่ขนาน  x สูง
6. พื้นที่สี่เหลี่ยมรูปว่าว  =  ½  x  ผลคูณของเส้นทแยงมุม
7.  พื้นที่สี่เหลี่ยมด้านไม่เท่า  =  ½  x  เส้นทแยงมุม  x  ผลบวกของเส้นกิ่ง

การหาปริมาตรรูปทรงกระบอก

สูตรหาปริมาตรทรงกระบอก =  r²h ( รอใส่พายอาร์ )

สูตรหาพื้นที่ผิวของทรงกระบอก  = 2rh + 2r²    ( รอใส่พายอาร์ )

การหาปริมาตรปริซึม

สูตรการหาปริมาตรปริซึม  =  พื้นที่ฐาน  x  สูง (ตรง)

สูตรหาพื้นที่ผิวปริซึม

1. พื้นที่ผิวทั้งหมด  =  พื้นที่ผิวข้าง  +  พื้นที่ฐานทั้งสอง
2. พื้นที่ผิวข้าง  =  ความยาวรอบรูปของฐาน  x  สูง(ตรง)

การหาปริมาตรพีระมิด

สูตรหาปริมาตรพีระมิด  =  ⅓  x  พื้นที่ฐาน  x สูง  (ตรง)

สูตรหาพื้นที่ผิวพีระมิด

1. พื้นที่ผิวทั้งหมด = พื้นที่ผิวข้าง + พื้นที่ฐานสามเหลี่ยม
2. พื้นที่ผิวข้าง  (หาได้ 2 วิธี)

1. จากสูตร พื้นที่ผิวข้าง  =  ½  x ความยาวรอบรูปของฐาน  x  สูง(เอียง)

2.(1) หาพื้นที่ผิว 1 หน้า (คือพื้นที่ของสามเหลี่ยม)

    (2) คูณพื้นที่ผิว 1 หน้า ด้วย จำนวนหน้า

แบบฝึกหัดเรื่องรูปทรงเรขาคณิต การหาพื้นที่และปริมาตรพร้อมเฉลย

1. จงหาพื้นที่ผิวข้างของปริซึมตรง ที่มีฐานรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า ยาว 4 เซนติเมตร
   และสูง 6 เซนติเมตร

วิธีทำ แต่ละหน้าด้านข้างของปริซึมตรง คือ ขนาด 4 x 6 ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า

วิธีที่ 1 หา 1 หน้าก่อน จากนั้นเอาไปคูณด้วยจำนวนหน้า

ดังนั้น พื้นที่ผิวข้าง 1 หน้า = พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า

    = กว้าง x ยาว

  = 4 x 6  = 24

พื้นที่ผิวข้าง 3 หน้า จึงได้เท่ากับ 3 x 24 = 72 ซม.²

สรุป พื้นที่ผิวข้าง = 72 ตารางเซนติเมตร

วิธีที่ 2 หาทุกหน้าด้วยการใช้สูตร

สูตรพื้นที่ผิวข้าง (หาทุกหน้า)  =  ความยาวรอบรูปของฐาน x สูงตรง

= (4+4+4) x 6  = 12 x 6 = 72

ตอบ 72 ตารางเซนติเมตร

---

2. โกดังเก็บของของแบมแบมเป็นรูปทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก กว้าง 6 เมตร ยาว 9 เมตร สูง 6 เมตร ถ้าแบมแบมต้องการทาสีเพดานและผนังภายในห้องทั้งสี่ด้าน

จงหา 
1. บริเวณที่ทาสีมีพื้นที่เท่าใด

2. ปริมาตรของโกดังเป็นเท่าใด

วิธีทำ 

(1) พื้นที่เพดาน [เป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า] = กว้าง x ยาว

= 6 x 9 = 54 ตารางเมตร

พื้นที่ผนังด้านหน้า + ด้านหลัง  =  2 x พื้นที่จตุรัส

= 2 x (6×6) = 72 ตารางเมตร

พื้นที่ผนังด้านข้าง 2 ด้าน        
=  2  x  พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า
= 2 x (6×9) = 108 ตารางเมตร

ดังนั้น พื้นที่ที่ต้องทาสี เท่ากับ 54 + 72 + 108 = 234 ตารางเมตร

(2) ปริมาตรของโกดัง (รูปปริซึม)

= กว้าง x ยาว x สูง

= 6 x 9 x 6 ตารางเมตร = 324 ลูกบาศก์เมตร

ตอบ 1. 234 ตารางเมตร 2. 324 ลูกบาศก์เมตร

---

3. กำหนดให้ r = 12 / h = 5 จงหาพื้นที่ผิวทั้งหมดของรูปทรงกระบอกที่ไม่มีฝาปิดด้านบน

วิธีทำ  สูตรพื้นที่ผิวทั้งหมดของทรงกระบอก = 2rh + 2r²

จะได้    
= 2(12)(5) + 2(12)(12)

= 120 + 288

= 408 ตารางหน่วย

ตอบ  408 ตารางหน่วย

 ( รอใส่พายอาร์ )

---

4. ลิซ่าเปิดให้น้ำไหลผ่านท่อกลมซึ่งมีเส้นผ่านศูนย์กลางภายในยาว 5 เซนติเมตร ด้วยอัตราเร็ว 1.5 เมตรต่อวินาที จงหาปริมาตรของน้ำเต็มท่อที่ไหลออกจากท่อในเวลา 3 นาที 

(กำหนดให้ = 3.14)

วิธีทำ    แปลความหมายคำว่า “น้ำไหลด้วยอัตราเร็ว 1.5 เมตรต่อวินาที”

หมายถึง   1  วินาที  ไหลได้ 1.5 เมตร

1 วินาที   ไหลได้  150 เซนติเมตร

ซึ่งคำว่า “ไหล” จะมีความหมายเป็น “ความสูง” (h)

หาปริมาตรของน้ำ 1 วินาที

สูตรหาปริมาตรทรงกระบอก =  r²h 

ดังนั้น ปริมาตรของน้ำที่ไหลออกท่อ 1 วินาที =  (2.5)(2.5)(150)

      = 2934.75 ลบ.เมตร

โจทย์ต้องการถามถึงเวลา 3 นาที

ปริมาตร  1  วินาที  จะมีน้ำไหลออกจากท่อ  =  2934.75  ลบ.เมตร

ปริมาตร 3 นาที (180วินาที) จะมีน้ำไหลออกจากท่อ = 2934.75×180 = 529,875 ลบ.เมตร

ตอบ ประมาณ 529,875 ลูกบาศก์เมตร

( รอใส่พายอาร์ )

---

5. ถ้ารัศมีของรูปทรงกลมเท่ากับ 2 จงหา (ติดค่า ได้)

1. พื้นที่ผิว  2.  ปริมาตร

วิธีทำ   จากโจทย์ r = 2

1. หาพื้นที่ผิว 

จากสูตร พื้นที่ผิวของทรงกลม = 4r²

= 4(2)(2) = 16

2. หาปริมาตร

จากสูตร ปริมาตรทรงกลม = 4/3 r³

    = 4/3(2)³  = 32/3

ตอบ 1. 16    2. 32/3

( รอใส่พายอาร์ )

---

6. รูปทรงกลมมี r =  7/22  เซนติเมตร  จงหาพื้นที่ผิวของทรงกลมนี้

วิธีทำ   จากโจทย์   r = 7/22  

สูตรพื้นที่ผิวของรูปทรงกลม  =  4r²

= 4 x 22/7 x 7/22 x 7/22

= 28/22

= 1.2727…

1.27   ตารางเซนติเมตร

ตอบ  ประมาณ 1.27 ตารางเซนติเมตร

( รอใส่พายอาร์ เเละ ค่าประมาณ  ) 

---

7. ถ้าพื้นที่ผิวทั้งหมดของรูปทรงกลมเท่ากับ 260 จงหาปริมาตร ให้เขียนคำตอบติด ได้

วิธีทำ    จากสูตรพื้นที่ผิวทั้งหมดของทรงกลม = 4r²

260   =   4r²

r = 65  

จากสูตรปริมาตรทรงกลม = 4/3  r³

= 4/3(65 )³

= 260653

ตอบ      260653  ตารางหน่วย

( รอใส่พายอาร์ เเละ root )

---

8. ถ้าพื้นที่ของรูปทรงกลมเท่ากับ 676  ตารางฟุต จงหารัศมีของรูปทรงกลมนี้

วิธีทำ สูตรพื้นที่ผิวของรูปทรงกลม = 4r²

เนื่องจาก พื้นที่ผิว  =  676 

676   =   4r²

r  =  13  นิ้ว

รัศมีของทรงกลม = 13 นิ้ว

ตอบ     13 นิ้ว

( รอใส่พายอาร์ )

---

คำถามที่พบบ่อย (FAQ)

การเรียนรู้เรื่องรูปทรงเรขาคณิตทั้งแบบสองมิติและสามมิตินั้นเป็นเรื่องที่สามารถเข้าใจได้หากเราทำความเข้าใจสูตร และเข้าใจถึงส่วนประกอบต่าง ๆ ในรูปทรงเหล่านั้น หากน้อง ๆ อยากจะเก็บคะแนนบทนี้ พี่ ๆ ATHOME ขอแนะนำให้น้อง ๆ หมั่นทำโจทย์บ่อย ๆ หากยังจำสูตรไม่ได้ไม่ต้องกังวลนะคะ พอทำโจทย์มากในระดับหนึ่งแล้ว สมองของน้อง ๆ จะเริ่มคุ้นชินและจำได้ดีมากขึ้นเอง พี่ ๆ ขอเป็นกำลังใจให้น้า